Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107280 / 100431
↖ ↑ ↗
← S 68.735387°
E114.653320°		 ← 110.75 m → S 68.735387°
E114.656067°		 →
↑
110.79 m
↓
↑
110.79 m
↓
S 68.736384°
E114.653320°		 ← 110.74 m →
12 270 m²		 S 68.736384°
E114.656067°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818485260009766 y=0.766231536865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818485260009766 × 217)
    floor (0.818485260009766 × 131072)
    floor (107280.5)     		tx = 107280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766231536865234 × 217)
    floor (0.766231536865234 × 131072)
    floor (100431.5)     		ty = 100431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107280 / 100431 ti = "17/107280/100431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107280/100431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107280 ÷ 217
    107280 ÷ 131072     		x = 0.8184814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100431 ÷ 217
    100431 ÷ 131072     		y = 0.766227722167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8184814453125 × 2 - 1) × π
    0.636962890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.00107794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766227722167969 × 2 - 1) × π
    -0.532455444335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.67275811224186
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00107794} λ = 2.00107794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67275811224186))-π/2
    2×atan(0.187728574459637)-π/2
    2×0.185568752403869-π/2
    0.371137504807737-1.57079632675     		φ = -1.19965882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00107794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.653320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19965882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.735387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107280 KachelY 100431 2.00107794 -1.19965882 114.653320 -68.735387
    Oben rechts KachelX + 1 107281 KachelY 100431 2.00112587 -1.19965882 114.656067 -68.735387
    Unten links KachelX 107280 KachelY + 1 100432 2.00107794 -1.19967621 114.653320 -68.736384
    Unten rechts KachelX + 1 107281 KachelY + 1 100432 2.00112587 -1.19967621 114.656067 -68.736384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19965882--1.19967621) × R
    1.7390000000006e-05 × 6371000     		dl = 110.791690000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19965882--1.19967621) × R
    1.7390000000006e-05 × 6371000     		dr = 110.791690000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00107794-2.00112587) × cos(-1.19965882) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.362675726475946 × 6371000     		do = 110.747396068488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00107794-2.00112587) × cos(-1.19967621) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.362659520412259 × 6371000     		du = 110.742447351982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19965882)-sin(-1.19967621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362675726475946-0.362659520412259)×R²
    abs(2.00112587-2.00107794)×1.62060636874628e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.62060636874628e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.62060636874628e-05×40589641000000     		ar = 12269.617035445m²