Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107278 / 45854
↖ ↑ ↗
← N 47.461523°
E114.647827°		 ← 206.49 m → N 47.461523°
E114.650574°		 →
↑
206.48 m
↓
↑
206.48 m
↓
N 47.459666°
E114.647827°		 ← 206.50 m →
42 638 m²		 N 47.459666°
E114.650574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818470001220703 y=0.349842071533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818470001220703 × 217)
    floor (0.818470001220703 × 131072)
    floor (107278.5)     		tx = 107278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349842071533203 × 217)
    floor (0.349842071533203 × 131072)
    floor (45854.5)     		ty = 45854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107278 / 45854 ti = "17/107278/45854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107278/45854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107278 ÷ 217
    107278 ÷ 131072     		x = 0.818466186523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45854 ÷ 217
    45854 ÷ 131072     		y = 0.349838256835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818466186523438 × 2 - 1) × π
    0.636932373046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00098206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349838256835938 × 2 - 1) × π
    0.300323486328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.943494058321945
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00098206} λ = 2.00098206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.943494058321945))-π/2
    2×atan(2.56894178761844)-π/2
    2×1.19957808128182-π/2
    2.39915616256364-1.57079632675     		φ = 0.82835984
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00098206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.647827°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82835984 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.461523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107278 KachelY 45854 2.00098206 0.82835984 114.647827 47.461523
    Oben rechts KachelX + 1 107279 KachelY 45854 2.00103000 0.82835984 114.650574 47.461523
    Unten links KachelX 107278 KachelY + 1 45855 2.00098206 0.82832743 114.647827 47.459666
    Unten rechts KachelX + 1 107279 KachelY + 1 45855 2.00103000 0.82832743 114.650574 47.459666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82835984-0.82832743) × R
    3.24099999999827e-05 × 6371000     		dl = 206.48410999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82835984-0.82832743) × R
    3.24099999999827e-05 × 6371000     		dr = 206.48410999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00098206-2.00103000) × cos(0.82835984) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.676085177296438 × 6371000     		do = 206.49381557866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00098206-2.00103000) × cos(0.82832743) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.67610905739017 × 6371000     		du = 206.50110917396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82835984)-sin(0.82832743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676085177296438-0.67610905739017)×R²
    abs(2.00103000-2.00098206)×2.38800937318873e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38800937318873e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38800937318873e-05×40589641000000     		ar = 42638.4447396926m²