Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107278 / 100429
↖ ↑ ↗
← S 68.733395°
E114.647827°		 ← 110.78 m → S 68.733395°
E114.650574°		 →
↑
110.79 m
↓
↑
110.79 m
↓
S 68.734391°
E114.647827°		 ← 110.78 m →
12 273 m²		 S 68.734391°
E114.650574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818470001220703 y=0.766216278076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818470001220703 × 217)
    floor (0.818470001220703 × 131072)
    floor (107278.5)     		tx = 107278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766216278076172 × 217)
    floor (0.766216278076172 × 131072)
    floor (100429.5)     		ty = 100429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107278 / 100429 ti = "17/107278/100429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107278/100429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107278 ÷ 217
    107278 ÷ 131072     		x = 0.818466186523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100429 ÷ 217
    100429 ÷ 131072     		y = 0.766212463378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818466186523438 × 2 - 1) × π
    0.636932373046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00098206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766212463378906 × 2 - 1) × π
    -0.532424926757812 × 3.1415926535     		Φ = -1.67266223844262
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00098206} λ = 2.00098206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67266223844262))-π/2
    2×atan(0.187746573574104)-π/2
    2×0.185586138730361-π/2
    0.371172277460722-1.57079632675     		φ = -1.19962405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00098206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.647827°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19962405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.733395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107278 KachelY 100429 2.00098206 -1.19962405 114.647827 -68.733395
    Oben rechts KachelX + 1 107279 KachelY 100429 2.00103000 -1.19962405 114.650574 -68.733395
    Unten links KachelX 107278 KachelY + 1 100430 2.00098206 -1.19964144 114.647827 -68.734391
    Unten rechts KachelX + 1 107279 KachelY + 1 100430 2.00103000 -1.19964144 114.650574 -68.734391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19962405--1.19964144) × R
    1.7390000000006e-05 × 6371000     		dl = 110.791690000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19962405--1.19964144) × R
    1.7390000000006e-05 × 6371000     		dr = 110.791690000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00098206-2.00103000) × cos(-1.19962405) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.362708128955256 × 6371000     		do = 110.780398690102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00098206-2.00103000) × cos(-1.19964144) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.362691923110865 × 6371000     		du = 110.775449008087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19962405)-sin(-1.19964144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362708128955256-0.362691923110865)×R²
    abs(2.00103000-2.00098206)×1.62058443906044e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62058443906044e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62058443906044e-05×40589641000000     		ar = 12273.2733982172m²