Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107277 / 45853
↖ ↑ ↗
← N 47.463379°
E114.645081°		 ← 206.44 m → N 47.463379°
E114.647827°		 →
↑
206.42 m
↓
↑
206.42 m
↓
N 47.461523°
E114.645081°		 ← 206.45 m →
42 615 m²		 N 47.461523°
E114.647827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107277 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818462371826172 y=0.349834442138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818462371826172 × 217)
    floor (0.818462371826172 × 131072)
    floor (107277.5)     		tx = 107277
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349834442138672 × 217)
    floor (0.349834442138672 × 131072)
    floor (45853.5)     		ty = 45853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107277 / 45853 ti = "17/107277/45853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107277/45853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107277 ÷ 217
    107277 ÷ 131072     		x = 0.818458557128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45853 ÷ 217
    45853 ÷ 131072     		y = 0.349830627441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818458557128906 × 2 - 1) × π
    0.636917114257812 × 3.1415926535     		Λ = 2.00093413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349830627441406 × 2 - 1) × π
    0.300338745117188 × 3.1415926535     		Φ = 0.943541995221565
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00093413} λ = 2.00093413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.943541995221565))-π/2
    2×atan(2.56906493767473)-π/2
    2×1.19959428570935-π/2
    2.39918857141871-1.57079632675     		φ = 0.82839224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00093413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.645081°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82839224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.463379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107277 KachelY 45853 2.00093413 0.82839224 114.645081 47.463379
    Oben rechts KachelX + 1 107278 KachelY 45853 2.00098206 0.82839224 114.647827 47.463379
    Unten links KachelX 107277 KachelY + 1 45854 2.00093413 0.82835984 114.645081 47.461523
    Unten rechts KachelX + 1 107278 KachelY + 1 45854 2.00098206 0.82835984 114.647827 47.461523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82839224-0.82835984) × R
    3.24000000000435e-05 × 6371000     		dl = 206.420400000277m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82839224-0.82835984) × R
    3.24000000000435e-05 × 6371000     		dr = 206.420400000277m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00093413-2.00098206) × cos(0.82839224) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.676061303860994 × 6371000     		do = 206.443452151566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00093413-2.00098206) × cos(0.82835984) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.676085177296438 × 6371000     		du = 206.450742192277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82839224)-sin(0.82835984))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676061303860994-0.676085177296438)×R²
    abs(2.00098206-2.00093413)×2.38734354435222e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38734354435222e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38734354435222e-05×40589641000000     		ar = 42614.8923808281m²