Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107277 / 100374
↖ ↑ ↗
← S 68.678536°
E114.645081°		 ← 111.03 m → S 68.678536°
E114.647827°		 →
↑
111.05 m
↓
↑
111.05 m
↓
S 68.679535°
E114.645081°		 ← 111.02 m →
12 329 m²		 S 68.679535°
E114.647827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107277 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818462371826172 y=0.765796661376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818462371826172 × 217)
    floor (0.818462371826172 × 131072)
    floor (107277.5)     		tx = 107277
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765796661376953 × 217)
    floor (0.765796661376953 × 131072)
    floor (100374.5)     		ty = 100374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107277 / 100374 ti = "17/107277/100374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107277/100374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107277 ÷ 217
    107277 ÷ 131072     		x = 0.818458557128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100374 ÷ 217
    100374 ÷ 131072     		y = 0.765792846679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818458557128906 × 2 - 1) × π
    0.636917114257812 × 3.1415926535     		Λ = 2.00093413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765792846679688 × 2 - 1) × π
    -0.531585693359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.67002570896352
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00093413} λ = 2.00093413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67002570896352))-π/2
    2×atan(0.188242226064015)-π/2
    2×0.186064871875563-π/2
    0.372129743751127-1.57079632675     		φ = -1.19866658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00093413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.645081°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19866658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.678536°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107277 KachelY 100374 2.00093413 -1.19866658 114.645081 -68.678536
    Oben rechts KachelX + 1 107278 KachelY 100374 2.00098206 -1.19866658 114.647827 -68.678536
    Unten links KachelX 107277 KachelY + 1 100375 2.00093413 -1.19868401 114.645081 -68.679535
    Unten rechts KachelX + 1 107278 KachelY + 1 100375 2.00098206 -1.19868401 114.647827 -68.679535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19866658--1.19868401) × R
    1.7429999999985e-05 × 6371000     		dl = 111.046529999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19866658--1.19868401) × R
    1.7429999999985e-05 × 6371000     		dr = 111.046529999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00093413-2.00098206) × cos(-1.19866658) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.363600231528791 × 6371000     		do = 111.02970480817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00093413-2.00098206) × cos(-1.19868401) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.363583994468473 × 6371000     		du = 111.02474662647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19866658)-sin(-1.19868401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363600231528791-0.363583994468473)×R²
    abs(2.00098206-2.00093413)×1.62370603180029e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.62370603180029e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.62370603180029e-05×40589641000000     		ar = 12329.1881518895m²