Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107276 / 45844
↖ ↑ ↗
← N 47.480088°
E114.642334°		 ← 206.42 m → N 47.480088°
E114.645081°		 →
↑
206.42 m
↓
↑
206.42 m
↓
N 47.478232°
E114.642334°		 ← 206.43 m →
42 610 m²		 N 47.478232°
E114.645081°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818454742431641 y=0.349765777587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818454742431641 × 217)
    floor (0.818454742431641 × 131072)
    floor (107276.5)     		tx = 107276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349765777587891 × 217)
    floor (0.349765777587891 × 131072)
    floor (45844.5)     		ty = 45844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107276 / 45844 ti = "17/107276/45844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107276/45844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107276 ÷ 217
    107276 ÷ 131072     		x = 0.818450927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45844 ÷ 217
    45844 ÷ 131072     		y = 0.349761962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818450927734375 × 2 - 1) × π
    0.63690185546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00088619
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349761962890625 × 2 - 1) × π
    0.30047607421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.943973427318146
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00088619} λ = 2.00088619}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.943973427318146))-π/2
    2×atan(2.57017355387616)-π/2
    2×1.19974009980114-π/2
    2.39948019960227-1.57079632675     		φ = 0.82868387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00088619} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.642334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82868387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.480088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107276 KachelY 45844 2.00088619 0.82868387 114.642334 47.480088
    Oben rechts KachelX + 1 107277 KachelY 45844 2.00093413 0.82868387 114.645081 47.480088
    Unten links KachelX 107276 KachelY + 1 45845 2.00088619 0.82865147 114.642334 47.478232
    Unten rechts KachelX + 1 107277 KachelY + 1 45845 2.00093413 0.82865147 114.645081 47.478232
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82868387-0.82865147) × R
    3.24000000000435e-05 × 6371000     		dl = 206.420400000277m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82868387-0.82865147) × R
    3.24000000000435e-05 × 6371000     		dr = 206.420400000277m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00088619-2.00093413) × cos(0.82868387) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.675846388897141 × 6371000     		do = 206.420883455102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00088619-2.00093413) × cos(0.82865147) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.675870268719658 × 6371000     		du = 206.428176967565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82868387)-sin(0.82865147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675846388897141-0.675870268719658)×R²
    abs(2.00093413-2.00088619)×2.38798225171699e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38798225171699e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38798225171699e-05×40589641000000     		ar = 42610.2340999385m²