Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107273 / 100521
↖ ↑ ↗
← S 68.824858°
E114.634094°		 ← 110.33 m → S 68.824858°
E114.636841°		 →
↑
110.28 m
↓
↑
110.28 m
↓
S 68.825850°
E114.634094°		 ← 110.32 m →
12 167 m²		 S 68.825850°
E114.636841°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818431854248047 y=0.766918182373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818431854248047 × 217)
    floor (0.818431854248047 × 131072)
    floor (107273.5)     		tx = 107273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766918182373047 × 217)
    floor (0.766918182373047 × 131072)
    floor (100521.5)     		ty = 100521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107273 / 100521 ti = "17/107273/100521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107273/100521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107273 ÷ 217
    107273 ÷ 131072     		x = 0.818428039550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100521 ÷ 217
    100521 ÷ 131072     		y = 0.766914367675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818428039550781 × 2 - 1) × π
    0.636856079101562 × 3.1415926535     		Λ = 2.00074238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766914367675781 × 2 - 1) × π
    -0.533828735351562 × 3.1415926535     		Φ = -1.67707243320766
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00074238} λ = 2.00074238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67707243320766))-π/2
    2×atan(0.186920397755388)-π/2
    2×0.18478797362527-π/2
    0.369575947250541-1.57079632675     		φ = -1.20122038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00074238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.634094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20122038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.824858°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107273 KachelY 100521 2.00074238 -1.20122038 114.634094 -68.824858
    Oben rechts KachelX + 1 107274 KachelY 100521 2.00079032 -1.20122038 114.636841 -68.824858
    Unten links KachelX 107273 KachelY + 1 100522 2.00074238 -1.20123769 114.634094 -68.825850
    Unten rechts KachelX + 1 107274 KachelY + 1 100522 2.00079032 -1.20123769 114.636841 -68.825850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20122038--1.20123769) × R
    1.73099999998261e-05 × 6371000     		dl = 110.282009998892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20122038--1.20123769) × R
    1.73099999998261e-05 × 6371000     		dr = 110.282009998892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00074238-2.00079032) × cos(-1.20122038) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.361220043064655 × 6371000     		do = 110.325898955782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00074238-2.00079032) × cos(-1.20123769) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.36120390177125 × 6371000     		du = 110.320968989299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20122038)-sin(-1.20123769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361220043064655-0.36120390177125)×R²
    abs(2.00079032-2.00074238)×1.61412934054361e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61412934054361e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61412934054361e-05×40589641000000     		ar = 12166.6900488645m²