Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107271 / 45837
N 47.493081°
E114.628601°
← 206.33 m → N 47.493081°
E114.631348°

206.36 m

206.36 m
N 47.491225°
E114.628601°
← 206.33 m →
42 578 m²
N 47.491225°
E114.631348°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818416595458984 y=0.349712371826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818416595458984 × 217)
    floor (0.818416595458984 × 131072)
    floor (107271.5)
    tx = 107271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349712371826172 × 217)
    floor (0.349712371826172 × 131072)
    floor (45837.5)
    ty = 45837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107271 / 45837 ti = "17/107271/45837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107271/45837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107271 ÷ 217
    107271 ÷ 131072
    x = 0.818412780761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45837 ÷ 217
    45837 ÷ 131072
    y = 0.349708557128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.818412780761719 × 2 - 1) × π
    0.636825561523438 × 3.1415926535
    Λ = 2.00064651
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.349708557128906 × 2 - 1) × π
    0.300582885742188 × 3.1415926535
    Φ = 0.944308985615486
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00064651} λ = 2.00064651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.944308985615486))-π/2
    2×atan(2.57103614165391)-π/2
    2×1.19985347871052-π/2
    2.39970695742104-1.57079632675
    φ = 0.82891063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00064651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.628601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82891063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.493081°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107271 KachelY 45837 2.00064651 0.82891063 114.628601 47.493081
    Oben rechts KachelX + 1 107272 KachelY 45837 2.00069444 0.82891063 114.631348 47.493081
    Unten links KachelX 107271 KachelY + 1 45838 2.00064651 0.82887824 114.628601 47.491225
    Unten rechts KachelX + 1 107272 KachelY + 1 45838 2.00069444 0.82887824 114.631348 47.491225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(0.82891063-0.82887824) × R
    3.23899999999933e-05 × 6371000
    dl = 206.356689999957m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(0.82891063-0.82887824) × R
    3.23899999999933e-05 × 6371000
    dr = 206.356689999957m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(2.00064651-2.00069444) × cos(0.82891063) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.675679239763413 × 6371000
    do = 206.326784283139m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(2.00064651-2.00069444) × cos(0.82887824) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.675703117179125 × 6371000
    du = 206.334075539272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(0.82891063)-sin(0.82887824))×
    abs(λ12)×abs(0.675679239763413-0.675703117179125)×
    abs(2.00069444-2.00064651)×2.38774157119703e-05×
    4.79300000000293e-05×2.38774157119703e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38774157119703e-05×40589641000000
    ar = 42577.6645664165m²