Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107267 / 46850
↖ ↑ ↗
← N 45.579445°
E114.617615°		 ← 213.73 m → N 45.579445°
E114.620361°		 →
↑
213.75 m
↓
↑
213.75 m
↓
N 45.577523°
E114.617615°		 ← 213.74 m →
45 685 m²		 N 45.577523°
E114.620361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818386077880859 y=0.357440948486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818386077880859 × 217)
    floor (0.818386077880859 × 131072)
    floor (107267.5)     		tx = 107267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.357440948486328 × 217)
    floor (0.357440948486328 × 131072)
    floor (46850.5)     		ty = 46850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107267 / 46850 ti = "17/107267/46850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107267/46850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107267 ÷ 217
    107267 ÷ 131072     		x = 0.818382263183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46850 ÷ 217
    46850 ÷ 131072     		y = 0.357437133789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818382263183594 × 2 - 1) × π
    0.636764526367188 × 3.1415926535     		Λ = 2.00045476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.357437133789062 × 2 - 1) × π
    0.285125732421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.895748906300369
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00045476} λ = 2.00045476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.895748906300369))-π/2
    2×atan(2.44916930113268)-π/2
    2×1.18315385762746-π/2
    2.36630771525491-1.57079632675     		φ = 0.79551139
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00045476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.617615°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79551139 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.579445°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107267 KachelY 46850 2.00045476 0.79551139 114.617615 45.579445
    Oben rechts KachelX + 1 107268 KachelY 46850 2.00050269 0.79551139 114.620361 45.579445
    Unten links KachelX 107267 KachelY + 1 46851 2.00045476 0.79547784 114.617615 45.577523
    Unten rechts KachelX + 1 107268 KachelY + 1 46851 2.00050269 0.79547784 114.620361 45.577523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79551139-0.79547784) × R
    3.35500000000488e-05 × 6371000     		dl = 213.747050000311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79551139-0.79547784) × R
    3.35500000000488e-05 × 6371000     		dr = 213.747050000311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00045476-2.00050269) × cos(0.79551139) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.699919611778884 × 6371000     		do = 213.728873487762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00045476-2.00050269) × cos(0.79547784) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.699943573520657 × 6371000     		du = 213.736190493872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79551139)-sin(0.79547784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699919611778884-0.699943573520657)×R²
    abs(2.00050269-2.00045476)×2.39617417731042e-05×R²
    4.79299999995852e-05×2.39617417731042e-05×6371000²
    4.79299999995852e-05×2.39617417731042e-05×40589641000000     		ar = 45684.6982065127m²