Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107267 / 45839
↖ ↑ ↗
← N 47.489369°
E114.617615°		 ← 206.34 m → N 47.489369°
E114.620361°		 →
↑
206.36 m
↓
↑
206.36 m
↓
N 47.487513°
E114.617615°		 ← 206.35 m →
42 581 m²		 N 47.487513°
E114.620361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818386077880859 y=0.349727630615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818386077880859 × 217)
    floor (0.818386077880859 × 131072)
    floor (107267.5)     		tx = 107267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349727630615234 × 217)
    floor (0.349727630615234 × 131072)
    floor (45839.5)     		ty = 45839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107267 / 45839 ti = "17/107267/45839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107267/45839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107267 ÷ 217
    107267 ÷ 131072     		x = 0.818382263183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45839 ÷ 217
    45839 ÷ 131072     		y = 0.349723815917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818382263183594 × 2 - 1) × π
    0.636764526367188 × 3.1415926535     		Λ = 2.00045476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349723815917969 × 2 - 1) × π
    0.300552368164062 × 3.1415926535     		Φ = 0.944213111816246
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00045476} λ = 2.00045476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.944213111816246))-π/2
    2×atan(2.57078965846686)-π/2
    2×1.19982108759802-π/2
    2.39964217519605-1.57079632675     		φ = 0.82884585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00045476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.617615°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82884585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.489369°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107267 KachelY 45839 2.00045476 0.82884585 114.617615 47.489369
    Oben rechts KachelX + 1 107268 KachelY 45839 2.00050269 0.82884585 114.620361 47.489369
    Unten links KachelX 107267 KachelY + 1 45840 2.00045476 0.82881346 114.617615 47.487513
    Unten rechts KachelX + 1 107268 KachelY + 1 45840 2.00050269 0.82881346 114.620361 47.487513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82884585-0.82881346) × R
    3.23899999999933e-05 × 6371000     		dl = 206.356689999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82884585-0.82881346) × R
    3.23899999999933e-05 × 6371000     		dr = 206.356689999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00045476-2.00050269) × cos(0.82884585) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.675726993885949 × 6371000     		do = 206.341366577025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00045476-2.00050269) × cos(0.82881346) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.675750869883859 × 6371000     		du = 206.348657400215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82884585)-sin(0.82881346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675726993885949-0.675750869883859)×R²
    abs(2.00050269-2.00045476)×2.38759979102054e-05×R²
    4.79299999995852e-05×2.38759979102054e-05×6371000²
    4.79299999995852e-05×2.38759979102054e-05×40589641000000     		ar = 42580.6736756594m²