Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107265 / 45842
↖ ↑ ↗
← N 47.483801°
E114.612121°		 ← 206.41 m → N 47.483801°
E114.614868°		 →
↑
206.42 m
↓
↑
206.42 m
↓
N 47.481945°
E114.612121°		 ← 206.41 m →
42 607 m²		 N 47.481945°
E114.614868°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818370819091797 y=0.349750518798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818370819091797 × 217)
    floor (0.818370819091797 × 131072)
    floor (107265.5)     		tx = 107265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349750518798828 × 217)
    floor (0.349750518798828 × 131072)
    floor (45842.5)     		ty = 45842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107265 / 45842 ti = "17/107265/45842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107265/45842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107265 ÷ 217
    107265 ÷ 131072     		x = 0.818367004394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45842 ÷ 217
    45842 ÷ 131072     		y = 0.349746704101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818367004394531 × 2 - 1) × π
    0.636734008789062 × 3.1415926535     		Λ = 2.00035888
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349746704101562 × 2 - 1) × π
    0.300506591796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.944069301117386
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00035888} λ = 2.00035888}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.944069301117386))-π/2
    2×atan(2.57041997799209)-π/2
    2×1.19977249663687-π/2
    2.39954499327375-1.57079632675     		φ = 0.82874867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00035888} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.612121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82874867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.483801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107265 KachelY 45842 2.00035888 0.82874867 114.612121 47.483801
    Oben rechts KachelX + 1 107266 KachelY 45842 2.00040682 0.82874867 114.614868 47.483801
    Unten links KachelX 107265 KachelY + 1 45843 2.00035888 0.82871627 114.612121 47.481945
    Unten rechts KachelX + 1 107266 KachelY + 1 45843 2.00040682 0.82871627 114.614868 47.481945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82874867-0.82871627) × R
    3.23999999999325e-05 × 6371000     		dl = 206.42039999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82874867-0.82871627) × R
    3.23999999999325e-05 × 6371000     		dr = 206.42039999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00035888-2.00040682) × cos(0.82874867) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.675798627123702 × 6371000     		do = 206.406295780105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00035888-2.00040682) × cos(0.82871627) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.675822508365147 × 6371000     		du = 206.413589725946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82874867)-sin(0.82871627))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675798627123702-0.675822508365147)×R²
    abs(2.00040682-2.00035888)×2.3881241445034e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3881241445034e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3881241445034e-05×40589641000000     		ar = 42607.222950701m²