Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107263 / 42691
↖ ↑ ↗
← N 53.009826°
E114.606628°		 ← 183.77 m → N 53.009826°
E114.609375°		 →
↑
183.80 m
↓
↑
183.80 m
↓
N 53.008173°
E114.606628°		 ← 183.78 m →
33 778 m²		 N 53.008173°
E114.609375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818355560302734 y=0.325710296630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818355560302734 × 217)
    floor (0.818355560302734 × 131072)
    floor (107263.5)     		tx = 107263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325710296630859 × 217)
    floor (0.325710296630859 × 131072)
    floor (42691.5)     		ty = 42691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107263 / 42691 ti = "17/107263/42691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107263/42691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107263 ÷ 217
    107263 ÷ 131072     		x = 0.818351745605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42691 ÷ 217
    42691 ÷ 131072     		y = 0.325706481933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818351745605469 × 2 - 1) × π
    0.636703491210938 × 3.1415926535     		Λ = 2.00026301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325706481933594 × 2 - 1) × π
    0.348587036132812 × 3.1415926535     		Φ = 1.09511847182018
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00026301} λ = 2.00026301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09511847182018))-π/2
    2×atan(2.989536838285)-π/2
    2×1.24799616193779-π/2
    2.49599232387559-1.57079632675     		φ = 0.92519600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00026301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.606628°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92519600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.009826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107263 KachelY 42691 2.00026301 0.92519600 114.606628 53.009826
    Oben rechts KachelX + 1 107264 KachelY 42691 2.00031095 0.92519600 114.609375 53.009826
    Unten links KachelX 107263 KachelY + 1 42692 2.00026301 0.92516715 114.606628 53.008173
    Unten rechts KachelX + 1 107264 KachelY + 1 42692 2.00031095 0.92516715 114.609375 53.008173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92519600-0.92516715) × R
    2.88499999999692e-05 × 6371000     		dl = 183.803349999804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92519600-0.92516715) × R
    2.88499999999692e-05 × 6371000     		dr = 183.803349999804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00026301-2.00031095) × cos(0.92519600) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.601678051153489 × 6371000     		do = 183.767964015192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00026301-2.00031095) × cos(0.92516715) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.6017010945148 × 6371000     		du = 183.775002050872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92519600)-sin(0.92516715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601678051153489-0.6017010945148)×R²
    abs(2.00031095-2.00026301)×2.30433613113146e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30433613113146e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30433613113146e-05×40589641000000     		ar = 33777.8142181658m²