Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107262 / 42824
↖ ↑ ↗
← N 52.789476°
E114.603882°		 ← 184.70 m → N 52.789476°
E114.606628°		 →
↑
184.70 m
↓
↑
184.70 m
↓
N 52.787815°
E114.603882°		 ← 184.71 m →
34 115 m²		 N 52.787815°
E114.606628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818347930908203 y=0.326725006103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818347930908203 × 217)
    floor (0.818347930908203 × 131072)
    floor (107262.5)     		tx = 107262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326725006103516 × 217)
    floor (0.326725006103516 × 131072)
    floor (42824.5)     		ty = 42824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107262 / 42824 ti = "17/107262/42824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107262/42824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107262 ÷ 217
    107262 ÷ 131072     		x = 0.818344116210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42824 ÷ 217
    42824 ÷ 131072     		y = 0.32672119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818344116210938 × 2 - 1) × π
    0.636688232421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00021507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32672119140625 × 2 - 1) × π
    0.3465576171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.08874286417072
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00021507} λ = 2.00021507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08874286417072))-π/2
    2×atan(2.97053735533301)-π/2
    2×1.24607324303632-π/2
    2.49214648607264-1.57079632675     		φ = 0.92135016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00021507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.603882°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92135016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.789476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107262 KachelY 42824 2.00021507 0.92135016 114.603882 52.789476
    Oben rechts KachelX + 1 107263 KachelY 42824 2.00026301 0.92135016 114.606628 52.789476
    Unten links KachelX 107262 KachelY + 1 42825 2.00021507 0.92132117 114.603882 52.787815
    Unten rechts KachelX + 1 107263 KachelY + 1 42825 2.00026301 0.92132117 114.606628 52.787815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92135016-0.92132117) × R
    2.89900000000065e-05 × 6371000     		dl = 184.695290000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92135016-0.92132117) × R
    2.89900000000065e-05 × 6371000     		dr = 184.695290000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00021507-2.00026301) × cos(0.92135016) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.604745415302118 × 6371000     		do = 184.704815980136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00021507-2.00026301) × cos(0.92132117) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.604768503230421 × 6371000     		du = 184.711867627722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92135016)-sin(0.92132117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604745415302118-0.604768503230421)×R²
    abs(2.00026301-2.00021507)×2.30879283024121e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30879283024121e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30879283024121e-05×40589641000000     		ar = 34114.7607572837m²