Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107260 / 43790
↖ ↑ ↗
← N 51.155232°
E114.598389°		 ← 191.57 m → N 51.155232°
E114.601135°		 →
↑
191.58 m
↓
↑
191.58 m
↓
N 51.153509°
E114.598389°		 ← 191.57 m →
36 700 m²		 N 51.153509°
E114.601135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107260 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818332672119141 y=0.334095001220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818332672119141 × 217)
    floor (0.818332672119141 × 131072)
    floor (107260.5)     		tx = 107260
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334095001220703 × 217)
    floor (0.334095001220703 × 131072)
    floor (43790.5)     		ty = 43790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107260 / 43790 ti = "17/107260/43790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107260/43790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107260 ÷ 217
    107260 ÷ 131072     		x = 0.818328857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43790 ÷ 217
    43790 ÷ 131072     		y = 0.334091186523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818328857421875 × 2 - 1) × π
    0.63665771484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00011920
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334091186523438 × 2 - 1) × π
    0.331817626953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04243581913774
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00011920} λ = 2.00011920}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04243581913774))-π/2
    2×atan(2.83611687529508)-π/2
    2×1.23181177400913-π/2
    2.46362354801826-1.57079632675     		φ = 0.89282722
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00011920} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.598389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89282722 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.155232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107260 KachelY 43790 2.00011920 0.89282722 114.598389 51.155232
    Oben rechts KachelX + 1 107261 KachelY 43790 2.00016714 0.89282722 114.601135 51.155232
    Unten links KachelX 107260 KachelY + 1 43791 2.00011920 0.89279715 114.598389 51.153509
    Unten rechts KachelX + 1 107261 KachelY + 1 43791 2.00016714 0.89279715 114.601135 51.153509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89282722-0.89279715) × R
    3.00699999999932e-05 × 6371000     		dl = 191.575969999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89282722-0.89279715) × R
    3.00699999999932e-05 × 6371000     		dr = 191.575969999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00011920-2.00016714) × cos(0.89282722) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.627212561216513 × 6371000     		do = 191.566860646723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00011920-2.00016714) × cos(0.89279715) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.627235980896088 × 6371000     		du = 191.574013619688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89282722)-sin(0.89279715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627212561216513-0.627235980896088)×R²
    abs(2.00016714-2.00011920)×2.34196795747543e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34196795747543e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34196795747543e-05×40589641000000     		ar = 36700.2923198204m²