Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107259 / 45838
↖ ↑ ↗
← N 47.491225°
E114.595642°		 ← 206.38 m → N 47.491225°
E114.598389°		 →
↑
206.36 m
↓
↑
206.36 m
↓
N 47.489369°
E114.595642°		 ← 206.38 m →
42 588 m²		 N 47.489369°
E114.598389°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45838 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818325042724609 y=0.349720001220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818325042724609 × 217)
    floor (0.818325042724609 × 131072)
    floor (107259.5)     		tx = 107259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349720001220703 × 217)
    floor (0.349720001220703 × 131072)
    floor (45838.5)     		ty = 45838
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107259 / 45838 ti = "17/107259/45838"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107259/45838.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107259 ÷ 217
    107259 ÷ 131072     		x = 0.818321228027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45838 ÷ 217
    45838 ÷ 131072     		y = 0.349716186523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818321228027344 × 2 - 1) × π
    0.636642456054688 × 3.1415926535     		Λ = 2.00007126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349716186523438 × 2 - 1) × π
    0.300567626953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.944261048715866
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00007126} λ = 2.00007126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.944261048715866))-π/2
    2×atan(2.57091289710648)-π/2
    2×1.19983728344043-π/2
    2.39967456688086-1.57079632675     		φ = 0.82887824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00007126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.595642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82887824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.491225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107259 KachelY 45838 2.00007126 0.82887824 114.595642 47.491225
    Oben rechts KachelX + 1 107260 KachelY 45838 2.00011920 0.82887824 114.598389 47.491225
    Unten links KachelX 107259 KachelY + 1 45839 2.00007126 0.82884585 114.595642 47.489369
    Unten rechts KachelX + 1 107260 KachelY + 1 45839 2.00011920 0.82884585 114.598389 47.489369
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82887824-0.82884585) × R
    3.23899999999933e-05 × 6371000     		dl = 206.356689999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82887824-0.82884585) × R
    3.23899999999933e-05 × 6371000     		dr = 206.356689999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00007126-2.00011920) × cos(0.82887824) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.675703117179125 × 6371000     		do = 206.377124584606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00007126-2.00011920) × cos(0.82884585) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.675726993885949 × 6371000     		du = 206.384417145456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82887824)-sin(0.82884585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675703117179125-0.675726993885949)×R²
    abs(2.00011920-2.00007126)×2.38767068235779e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38767068235779e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38767068235779e-05×40589641000000     		ar = 42588.052759263m²