Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107257 / 45836
↖ ↑ ↗
← N 47.494937°
E114.590149°		 ← 206.36 m → N 47.494937°
E114.592896°		 →
↑
206.36 m
↓
↑
206.36 m
↓
N 47.493081°
E114.590149°		 ← 206.37 m →
42 585 m²		 N 47.493081°
E114.592896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818309783935547 y=0.349704742431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818309783935547 × 217)
    floor (0.818309783935547 × 131072)
    floor (107257.5)     		tx = 107257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349704742431641 × 217)
    floor (0.349704742431641 × 131072)
    floor (45836.5)     		ty = 45836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107257 / 45836 ti = "17/107257/45836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107257/45836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107257 ÷ 217
    107257 ÷ 131072     		x = 0.818305969238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45836 ÷ 217
    45836 ÷ 131072     		y = 0.349700927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818305969238281 × 2 - 1) × π
    0.636611938476562 × 3.1415926535     		Λ = 1.99997539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349700927734375 × 2 - 1) × π
    0.30059814453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.944356922515106
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99997539} λ = 1.99997539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.944356922515106))-π/2
    2×atan(2.57115939210945)-π/2
    2×1.1998696734083-π/2
    2.3997393468166-1.57079632675     		φ = 0.82894302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99997539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.590149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82894302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.494937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107257 KachelY 45836 1.99997539 0.82894302 114.590149 47.494937
    Oben rechts KachelX + 1 107258 KachelY 45836 2.00002333 0.82894302 114.592896 47.494937
    Unten links KachelX 107257 KachelY + 1 45837 1.99997539 0.82891063 114.590149 47.493081
    Unten rechts KachelX + 1 107258 KachelY + 1 45837 2.00002333 0.82891063 114.592896 47.493081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82894302-0.82891063) × R
    3.23899999999933e-05 × 6371000     		dl = 206.356689999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82894302-0.82891063) × R
    3.23899999999933e-05 × 6371000     		dr = 206.356689999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99997539-2.00002333) × cos(0.82894302) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.675655361638838 × 6371000     		do = 206.362538813374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99997539-2.00002333) × cos(0.82891063) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.675679239763413 × 6371000     		du = 206.369831807243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82894302)-sin(0.82891063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675655361638838-0.675679239763413)×R²
    abs(2.00002333-1.99997539)×2.38781245751607e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38781245751607e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38781245751607e-05×40589641000000     		ar = 42585.0429321578m²