Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107257 / 100457
↖ ↑ ↗
← S 68.761271°
E114.590149°		 ← 110.64 m → S 68.761271°
E114.592896°		 →
↑
110.66 m
↓
↑
110.66 m
↓
S 68.762266°
E114.590149°		 ← 110.64 m →
12 244 m²		 S 68.762266°
E114.592896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818309783935547 y=0.766429901123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818309783935547 × 217)
    floor (0.818309783935547 × 131072)
    floor (107257.5)     		tx = 107257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766429901123047 × 217)
    floor (0.766429901123047 × 131072)
    floor (100457.5)     		ty = 100457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107257 / 100457 ti = "17/107257/100457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107257/100457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107257 ÷ 217
    107257 ÷ 131072     		x = 0.818305969238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100457 ÷ 217
    100457 ÷ 131072     		y = 0.766426086425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818305969238281 × 2 - 1) × π
    0.636611938476562 × 3.1415926535     		Λ = 1.99997539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766426086425781 × 2 - 1) × π
    -0.532852172851562 × 3.1415926535     		Φ = -1.67400447163198
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99997539} λ = 1.99997539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67400447163198))-π/2
    2×atan(0.187494742937391)-π/2
    2×0.185342871469999-π/2
    0.370685742939998-1.57079632675     		φ = -1.20011058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99997539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.590149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20011058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.761271°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107257 KachelY 100457 1.99997539 -1.20011058 114.590149 -68.761271
    Oben rechts KachelX + 1 107258 KachelY 100457 2.00002333 -1.20011058 114.592896 -68.761271
    Unten links KachelX 107257 KachelY + 1 100458 1.99997539 -1.20012795 114.590149 -68.762266
    Unten rechts KachelX + 1 107258 KachelY + 1 100458 2.00002333 -1.20012795 114.592896 -68.762266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20011058--1.20012795) × R
    1.73699999999055e-05 × 6371000     		dl = 110.664269999398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20011058--1.20012795) × R
    1.73699999999055e-05 × 6371000     		dr = 110.664269999398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99997539-2.00002333) × cos(-1.20011058) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.362254687379314 × 6371000     		do = 110.641905961223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99997539-2.00002333) × cos(-1.20012795) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.362238497109833 × 6371000     		du = 110.636961036186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20011058)-sin(-1.20012795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362254687379314-0.362238497109833)×R²
    abs(2.00002333-1.99997539)×1.61902694801319e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61902694801319e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61902694801319e-05×40589641000000     		ar = 12243.8321415485m²