Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107253 / 100527
↖ ↑ ↗
← S 68.830810°
E114.579163°		 ← 110.30 m → S 68.830810°
E114.581909°		 →
↑
110.28 m
↓
↑
110.28 m
↓
S 68.831802°
E114.579163°		 ← 110.29 m →
12 163 m²		 S 68.831802°
E114.581909°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818279266357422 y=0.766963958740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818279266357422 × 217)
    floor (0.818279266357422 × 131072)
    floor (107253.5)     		tx = 107253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766963958740234 × 217)
    floor (0.766963958740234 × 131072)
    floor (100527.5)     		ty = 100527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107253 / 100527 ti = "17/107253/100527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107253/100527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107253 ÷ 217
    107253 ÷ 131072     		x = 0.818275451660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100527 ÷ 217
    100527 ÷ 131072     		y = 0.766960144042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818275451660156 × 2 - 1) × π
    0.636550903320312 × 3.1415926535     		Λ = 1.99978364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766960144042969 × 2 - 1) × π
    -0.533920288085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.67736005460538
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99978364} λ = 1.99978364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67736005460538))-π/2
    2×atan(0.186866643180177)-π/2
    2×0.184736033284014-π/2
    0.369472066568028-1.57079632675     		φ = -1.20132426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99978364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.579163°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20132426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.830810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107253 KachelY 100527 1.99978364 -1.20132426 114.579163 -68.830810
    Oben rechts KachelX + 1 107254 KachelY 100527 1.99983158 -1.20132426 114.581909 -68.830810
    Unten links KachelX 107253 KachelY + 1 100528 1.99978364 -1.20134157 114.579163 -68.831802
    Unten rechts KachelX + 1 107254 KachelY + 1 100528 1.99983158 -1.20134157 114.581909 -68.831802
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20132426--1.20134157) × R
    1.73100000000481e-05 × 6371000     		dl = 110.282010000307m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20132426--1.20134157) × R
    1.73100000000481e-05 × 6371000     		dr = 110.282010000307m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99978364-1.99983158) × cos(-1.20132426) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.36112317503051 × 6371000     		do = 110.296312964771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99978364-1.99983158) × cos(-1.20134157) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.361107033087674 × 6371000     		du = 110.291382799935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20132426)-sin(-1.20134157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36112317503051-0.361107033087674)×R²
    abs(1.99983158-1.99978364)×1.61419428365006e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61419428365006e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61419428365006e-05×40589641000000     		ar = 12163.4272356459m²