Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107249 / 45809
↖ ↑ ↗
← N 47.545018°
E114.568176°		 ← 206.17 m → N 47.545018°
E114.570923°		 →
↑
206.17 m
↓
↑
206.17 m
↓
N 47.543164°
E114.568176°		 ← 206.17 m →
42 505 m²		 N 47.543164°
E114.570923°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818248748779297 y=0.349498748779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818248748779297 × 217)
    floor (0.818248748779297 × 131072)
    floor (107249.5)     		tx = 107249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349498748779297 × 217)
    floor (0.349498748779297 × 131072)
    floor (45809.5)     		ty = 45809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107249 / 45809 ti = "17/107249/45809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107249/45809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107249 ÷ 217
    107249 ÷ 131072     		x = 0.818244934082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45809 ÷ 217
    45809 ÷ 131072     		y = 0.349494934082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818244934082031 × 2 - 1) × π
    0.636489868164062 × 3.1415926535     		Λ = 1.99959189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349494934082031 × 2 - 1) × π
    0.301010131835938 × 3.1415926535     		Φ = 0.945651218804848
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99959189} λ = 1.99959189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.945651218804848))-π/2
    2×atan(2.57448938870725)-π/2
    2×1.20030671392606-π/2
    2.40061342785213-1.57079632675     		φ = 0.82981710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99959189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.568176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82981710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.545018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107249 KachelY 45809 1.99959189 0.82981710 114.568176 47.545018
    Oben rechts KachelX + 1 107250 KachelY 45809 1.99963983 0.82981710 114.570923 47.545018
    Unten links KachelX 107249 KachelY + 1 45810 1.99959189 0.82978474 114.568176 47.543164
    Unten rechts KachelX + 1 107250 KachelY + 1 45810 1.99963983 0.82978474 114.570923 47.543164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82981710-0.82978474) × R
    3.23599999999535e-05 × 6371000     		dl = 206.165559999704m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82981710-0.82978474) × R
    3.23599999999535e-05 × 6371000     		dr = 206.165559999704m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99959189-1.99963983) × cos(0.82981710) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.67501071643018 × 6371000     		do = 206.165647573483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99959189-1.99963983) × cos(0.82978474) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.675034591541171 × 6371000     		du = 206.172939646925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82981710)-sin(0.82978474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67501071643018-0.675034591541171)×R²
    abs(1.99963983-1.99959189)×2.38751109907787e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38751109907787e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38751109907787e-05×40589641000000     		ar = 42505.0078756794m²