Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107247 / 42784
↖ ↑ ↗
← N 52.855864°
E114.562683°		 ← 184.42 m → N 52.855864°
E114.565430°		 →
↑
184.44 m
↓
↑
184.44 m
↓
N 52.854206°
E114.562683°		 ← 184.43 m →
34 016 m²		 N 52.854206°
E114.565430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818233489990234 y=0.326419830322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818233489990234 × 217)
    floor (0.818233489990234 × 131072)
    floor (107247.5)     		tx = 107247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326419830322266 × 217)
    floor (0.326419830322266 × 131072)
    floor (42784.5)     		ty = 42784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107247 / 42784 ti = "17/107247/42784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107247/42784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107247 ÷ 217
    107247 ÷ 131072     		x = 0.818229675292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42784 ÷ 217
    42784 ÷ 131072     		y = 0.326416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818229675292969 × 2 - 1) × π
    0.636459350585938 × 3.1415926535     		Λ = 1.99949602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326416015625 × 2 - 1) × π
    0.34716796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.09066034015552
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99949602} λ = 1.99949602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09066034015552))-π/2
    2×atan(2.97623875377425)-π/2
    2×1.24665259283328-π/2
    2.49330518566655-1.57079632675     		φ = 0.92250886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99949602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.562683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92250886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.855864°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107247 KachelY 42784 1.99949602 0.92250886 114.562683 52.855864
    Oben rechts KachelX + 1 107248 KachelY 42784 1.99954396 0.92250886 114.565430 52.855864
    Unten links KachelX 107247 KachelY + 1 42785 1.99949602 0.92247991 114.562683 52.854206
    Unten rechts KachelX + 1 107248 KachelY + 1 42785 1.99954396 0.92247991 114.565430 52.854206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92250886-0.92247991) × R
    2.89500000000276e-05 × 6371000     		dl = 184.440450000176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92250886-0.92247991) × R
    2.89500000000276e-05 × 6371000     		dr = 184.440450000176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99949602-1.99954396) × cos(0.92250886) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.603822199027319 × 6371000     		do = 184.422841966225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99949602-1.99954396) × cos(0.92247991) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.603845275370274 × 6371000     		du = 184.429890075349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92250886)-sin(0.92247991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603822199027319-0.603845275370274)×R²
    abs(1.99954396-1.99949602)×2.3076342954953e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3076342954953e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3076342954953e-05×40589641000000     		ar = 34015.6819432305m²