Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107244 / 45861
↖ ↑ ↗
← N 47.448522°
E114.554443°		 ← 206.54 m → N 47.448522°
E114.557190°		 →
↑
206.55 m
↓
↑
206.55 m
↓
N 47.446665°
E114.554443°		 ← 206.55 m →
42 662 m²		 N 47.446665°
E114.557190°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818210601806641 y=0.349895477294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818210601806641 × 217)
    floor (0.818210601806641 × 131072)
    floor (107244.5)     		tx = 107244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349895477294922 × 217)
    floor (0.349895477294922 × 131072)
    floor (45861.5)     		ty = 45861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107244 / 45861 ti = "17/107244/45861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107244/45861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107244 ÷ 217
    107244 ÷ 131072     		x = 0.818206787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45861 ÷ 217
    45861 ÷ 131072     		y = 0.349891662597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818206787109375 × 2 - 1) × π
    0.63641357421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.99935221
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349891662597656 × 2 - 1) × π
    0.300216674804688 × 3.1415926535     		Φ = 0.943158500024605
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99935221} λ = 1.99935221}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.943158500024605))-π/2
    2×atan(2.56807990250066)-π/2
    2×1.19946463426264-π/2
    2.39892926852529-1.57079632675     		φ = 0.82813294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99935221} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.554443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82813294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.448522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107244 KachelY 45861 1.99935221 0.82813294 114.554443 47.448522
    Oben rechts KachelX + 1 107245 KachelY 45861 1.99940015 0.82813294 114.557190 47.448522
    Unten links KachelX 107244 KachelY + 1 45862 1.99935221 0.82810052 114.554443 47.446665
    Unten rechts KachelX + 1 107245 KachelY + 1 45862 1.99940015 0.82810052 114.557190 47.446665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82813294-0.82810052) × R
    3.2420000000033e-05 × 6371000     		dl = 206.54782000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82813294-0.82810052) × R
    3.2420000000033e-05 × 6371000     		dr = 206.54782000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99935221-1.99940015) × cos(0.82813294) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.676252345137786 × 6371000     		do = 206.544872940308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99935221-1.99940015) × cos(0.82810052) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.676276227625482 × 6371000     		du = 206.552167266786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82813294)-sin(0.82810052))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676252345137786-0.676276227625482)×R²
    abs(1.99940015-1.99935221)×2.38824876960253e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38824876960253e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38824876960253e-05×40589641000000     		ar = 42662.1465553306m²