Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107243 / 45859
↖ ↑ ↗
← N 47.452237°
E114.551697°		 ← 206.53 m → N 47.452237°
E114.554443°		 →
↑
206.48 m
↓
↑
206.48 m
↓
N 47.450380°
E114.551697°		 ← 206.54 m →
42 646 m²		 N 47.450380°
E114.554443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818202972412109 y=0.349880218505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818202972412109 × 217)
    floor (0.818202972412109 × 131072)
    floor (107243.5)     		tx = 107243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349880218505859 × 217)
    floor (0.349880218505859 × 131072)
    floor (45859.5)     		ty = 45859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107243 / 45859 ti = "17/107243/45859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107243/45859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107243 ÷ 217
    107243 ÷ 131072     		x = 0.818199157714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45859 ÷ 217
    45859 ÷ 131072     		y = 0.349876403808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818199157714844 × 2 - 1) × π
    0.636398315429688 × 3.1415926535     		Λ = 1.99930427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349876403808594 × 2 - 1) × π
    0.300247192382812 × 3.1415926535     		Φ = 0.943254373823845
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99930427} λ = 1.99930427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.943254373823845))-π/2
    2×atan(2.56832612588066)-π/2
    2×1.1994970505586-π/2
    2.39899410111719-1.57079632675     		φ = 0.82819777
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99930427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.551697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82819777 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.452237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107243 KachelY 45859 1.99930427 0.82819777 114.551697 47.452237
    Oben rechts KachelX + 1 107244 KachelY 45859 1.99935221 0.82819777 114.554443 47.452237
    Unten links KachelX 107243 KachelY + 1 45860 1.99930427 0.82816536 114.551697 47.450380
    Unten rechts KachelX + 1 107244 KachelY + 1 45860 1.99935221 0.82816536 114.554443 47.450380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82819777-0.82816536) × R
    3.24100000000938e-05 × 6371000     		dl = 206.484110000597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82819777-0.82816536) × R
    3.24100000000938e-05 × 6371000     		dr = 206.484110000597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99930427-1.99935221) × cos(0.82819777) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.67620458539722 × 6371000     		do = 206.530285886204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99930427-1.99935221) × cos(0.82816536) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.676228461939311 × 6371000     		du = 206.53757839674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82819777)-sin(0.82816536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67620458539722-0.676228461939311)×R²
    abs(1.99935221-1.99930427)×2.38765420906839e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38765420906839e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38765420906839e-05×40589641000000     		ar = 42645.9751669644m²