Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107240 / 45884
↖ ↑ ↗
← N 47.405785°
E114.543457°		 ← 206.71 m → N 47.405785°
E114.546204°		 →
↑
206.74 m
↓
↑
206.74 m
↓
N 47.403926°
E114.543457°		 ← 206.72 m →
42 736 m²		 N 47.403926°
E114.546204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818180084228516 y=0.350070953369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818180084228516 × 217)
    floor (0.818180084228516 × 131072)
    floor (107240.5)     		tx = 107240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350070953369141 × 217)
    floor (0.350070953369141 × 131072)
    floor (45884.5)     		ty = 45884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107240 / 45884 ti = "17/107240/45884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107240/45884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107240 ÷ 217
    107240 ÷ 131072     		x = 0.81817626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45884 ÷ 217
    45884 ÷ 131072     		y = 0.350067138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81817626953125 × 2 - 1) × π
    0.6363525390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.99916046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350067138671875 × 2 - 1) × π
    0.29986572265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.942055951333344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99916046} λ = 1.99916046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.942055951333344))-π/2
    2×atan(2.56525002968805)-π/2
    2×1.19909168229085-π/2
    2.39818336458169-1.57079632675     		φ = 0.82738704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99916046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.543457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82738704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.405785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107240 KachelY 45884 1.99916046 0.82738704 114.543457 47.405785
    Oben rechts KachelX + 1 107241 KachelY 45884 1.99920840 0.82738704 114.546204 47.405785
    Unten links KachelX 107240 KachelY + 1 45885 1.99916046 0.82735459 114.543457 47.403926
    Unten rechts KachelX + 1 107241 KachelY + 1 45885 1.99920840 0.82735459 114.546204 47.403926
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82738704-0.82735459) × R
    3.24499999999617e-05 × 6371000     		dl = 206.738949999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82738704-0.82735459) × R
    3.24499999999617e-05 × 6371000     		dr = 206.738949999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99916046-1.99920840) × cos(0.82738704) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.676801639156542 × 6371000     		do = 206.712641473422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99916046-1.99920840) × cos(0.82735459) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.676825527368424 × 6371000     		du = 206.719937548213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82738704)-sin(0.82735459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676801639156542-0.676825527368424)×R²
    abs(1.99920840-1.99916046)×2.38882118823724e-05×R²
    4.79400000001906e-05×2.38882118823724e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×2.38882118823724e-05×40589641000000     		ar = 42736.3086451267m²