Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107240 / 43912
↖ ↑ ↗
← N 50.944584°
E114.543457°		 ← 192.44 m → N 50.944584°
E114.546204°		 →
↑
192.40 m
↓
↑
192.40 m
↓
N 50.942854°
E114.543457°		 ← 192.45 m →
37 027 m²		 N 50.942854°
E114.546204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818180084228516 y=0.335025787353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818180084228516 × 217)
    floor (0.818180084228516 × 131072)
    floor (107240.5)     		tx = 107240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335025787353516 × 217)
    floor (0.335025787353516 × 131072)
    floor (43912.5)     		ty = 43912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107240 / 43912 ti = "17/107240/43912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107240/43912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107240 ÷ 217
    107240 ÷ 131072     		x = 0.81817626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43912 ÷ 217
    43912 ÷ 131072     		y = 0.33502197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81817626953125 × 2 - 1) × π
    0.6363525390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.99916046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33502197265625 × 2 - 1) × π
    0.3299560546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.03658751738409
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99916046} λ = 1.99916046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03658751738409))-π/2
    2×atan(2.81957881492056)-π/2
    2×1.22997353061318-π/2
    2.45994706122636-1.57079632675     		φ = 0.88915073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99916046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.543457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88915073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.944584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107240 KachelY 43912 1.99916046 0.88915073 114.543457 50.944584
    Oben rechts KachelX + 1 107241 KachelY 43912 1.99920840 0.88915073 114.546204 50.944584
    Unten links KachelX 107240 KachelY + 1 43913 1.99916046 0.88912053 114.543457 50.942854
    Unten rechts KachelX + 1 107241 KachelY + 1 43913 1.99920840 0.88912053 114.546204 50.942854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88915073-0.88912053) × R
    3.01999999999802e-05 × 6371000     		dl = 192.404199999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88915073-0.88912053) × R
    3.01999999999802e-05 × 6371000     		dr = 192.404199999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99916046-1.99920840) × cos(0.88915073) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.630071743232689 × 6371000     		do = 192.440128430699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99916046-1.99920840) × cos(0.88912053) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.630095194360543 × 6371000     		du = 192.447291008778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88915073)-sin(0.88912053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630071743232689-0.630095194360543)×R²
    abs(1.99920840-1.99916046)×2.34511278546234e-05×R²
    4.79400000001906e-05×2.34511278546234e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×2.34511278546234e-05×40589641000000     		ar = 37026.978016424m²