Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107239 / 45883
↖ ↑ ↗
← N 47.407644°
E114.540710°		 ← 206.71 m → N 47.407644°
E114.543457°		 →
↑
206.68 m
↓
↑
206.68 m
↓
N 47.405785°
E114.540710°		 ← 206.71 m →
42 722 m²		 N 47.405785°
E114.543457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45883 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818172454833984 y=0.350063323974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818172454833984 × 217)
    floor (0.818172454833984 × 131072)
    floor (107239.5)     		tx = 107239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350063323974609 × 217)
    floor (0.350063323974609 × 131072)
    floor (45883.5)     		ty = 45883
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107239 / 45883 ti = "17/107239/45883"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107239/45883.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107239 ÷ 217
    107239 ÷ 131072     		x = 0.818168640136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45883 ÷ 217
    45883 ÷ 131072     		y = 0.350059509277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818168640136719 × 2 - 1) × π
    0.636337280273438 × 3.1415926535     		Λ = 1.99911252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350059509277344 × 2 - 1) × π
    0.299880981445312 × 3.1415926535     		Φ = 0.942103888232964
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99911252} λ = 1.99911252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.942103888232964))-π/2
    2×atan(2.56537300276868)-π/2
    2×1.19910790389077-π/2
    2.39821580778155-1.57079632675     		φ = 0.82741948
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99911252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.540710°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82741948 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.407644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107239 KachelY 45883 1.99911252 0.82741948 114.540710 47.407644
    Oben rechts KachelX + 1 107240 KachelY 45883 1.99916046 0.82741948 114.543457 47.407644
    Unten links KachelX 107239 KachelY + 1 45884 1.99911252 0.82738704 114.540710 47.405785
    Unten rechts KachelX + 1 107240 KachelY + 1 45884 1.99916046 0.82738704 114.543457 47.405785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82741948-0.82738704) × R
    3.24400000000225e-05 × 6371000     		dl = 206.675240000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82741948-0.82738704) × R
    3.24400000000225e-05 × 6371000     		dr = 206.675240000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99911252-1.99916046) × cos(0.82741948) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.676777757593859 × 6371000     		do = 206.70534742851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99911252-1.99916046) × cos(0.82738704) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.676801639156542 × 6371000     		du = 206.712641472464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82741948)-sin(0.82738704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676777757593859-0.676801639156542)×R²
    abs(1.99916046-1.99911252)×2.3881562682404e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3881562682404e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3881562682404e-05×40589641000000     		ar = 42721.6310419528m²