Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107238 / 45882
↖ ↑ ↗
← N 47.409503°
E114.537964°		 ← 206.65 m → N 47.409503°
E114.540710°		 →
↑
206.68 m
↓
↑
206.68 m
↓
N 47.407644°
E114.537964°		 ← 206.66 m →
42 711 m²		 N 47.407644°
E114.540710°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818164825439453 y=0.350055694580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818164825439453 × 217)
    floor (0.818164825439453 × 131072)
    floor (107238.5)     		tx = 107238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350055694580078 × 217)
    floor (0.350055694580078 × 131072)
    floor (45882.5)     		ty = 45882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107238 / 45882 ti = "17/107238/45882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107238/45882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107238 ÷ 217
    107238 ÷ 131072     		x = 0.818161010742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45882 ÷ 217
    45882 ÷ 131072     		y = 0.350051879882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818161010742188 × 2 - 1) × π
    0.636322021484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.99906459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350051879882812 × 2 - 1) × π
    0.299896240234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.942151825132584
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99906459} λ = 1.99906459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.942151825132584))-π/2
    2×atan(2.56549598174439)-π/2
    2×1.19912412491824-π/2
    2.39824824983649-1.57079632675     		φ = 0.82745192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99906459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.537964°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82745192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.409503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107238 KachelY 45882 1.99906459 0.82745192 114.537964 47.409503
    Oben rechts KachelX + 1 107239 KachelY 45882 1.99911252 0.82745192 114.540710 47.409503
    Unten links KachelX 107238 KachelY + 1 45883 1.99906459 0.82741948 114.537964 47.407644
    Unten rechts KachelX + 1 107239 KachelY + 1 45883 1.99911252 0.82741948 114.540710 47.407644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82745192-0.82741948) × R
    3.24400000000225e-05 × 6371000     		dl = 206.675240000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82745192-0.82741948) × R
    3.24400000000225e-05 × 6371000     		dr = 206.675240000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99906459-1.99911252) × cos(0.82745192) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.676753875318967 × 6371000     		do = 206.654937177893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99906459-1.99911252) × cos(0.82741948) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.676777757593859 × 6371000     		du = 206.662229917835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82745192)-sin(0.82741948))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676753875318967-0.676777757593859)×R²
    abs(1.99911252-1.99906459)×2.38822748918066e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38822748918066e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38822748918066e-05×40589641000000     		ar = 42711.2123566584m²