Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107236 / 43620
↖ ↑ ↗
← N 51.447160°
E114.532470°		 ← 190.35 m → N 51.447160°
E114.535217°		 →
↑
190.37 m
↓
↑
190.37 m
↓
N 51.445448°
E114.532470°		 ← 190.36 m →
36 237 m²		 N 51.445448°
E114.535217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818149566650391 y=0.332798004150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818149566650391 × 217)
    floor (0.818149566650391 × 131072)
    floor (107236.5)     		tx = 107236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332798004150391 × 217)
    floor (0.332798004150391 × 131072)
    floor (43620.5)     		ty = 43620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107236 / 43620 ti = "17/107236/43620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107236/43620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107236 ÷ 217
    107236 ÷ 131072     		x = 0.818145751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43620 ÷ 217
    43620 ÷ 131072     		y = 0.332794189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818145751953125 × 2 - 1) × π
    0.63629150390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.99896871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332794189453125 × 2 - 1) × π
    0.33441162109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05058509207315
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99896871} λ = 1.99896871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05058509207315))-π/2
    2×atan(2.85932359630934)-π/2
    2×1.23435933281623-π/2
    2.46871866563245-1.57079632675     		φ = 0.89792234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99896871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.532470°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89792234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.447160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107236 KachelY 43620 1.99896871 0.89792234 114.532470 51.447160
    Oben rechts KachelX + 1 107237 KachelY 43620 1.99901665 0.89792234 114.535217 51.447160
    Unten links KachelX 107236 KachelY + 1 43621 1.99896871 0.89789246 114.532470 51.445448
    Unten rechts KachelX + 1 107237 KachelY + 1 43621 1.99901665 0.89789246 114.535217 51.445448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89792234-0.89789246) × R
    2.98800000000377e-05 × 6371000     		dl = 190.36548000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89792234-0.89789246) × R
    2.98800000000377e-05 × 6371000     		dr = 190.36548000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99896871-1.99901665) × cos(0.89792234) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.623236112444431 × 6371000     		do = 190.352350837939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99896871-1.99901665) × cos(0.89789246) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.623259479333935 × 6371000     		du = 190.359487687457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89792234)-sin(0.89789246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623236112444431-0.623259479333935)×R²
    abs(1.99901665-1.99896871)×2.33668895036621e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33668895036621e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33668895036621e-05×40589641000000     		ar = 36237.1959441705m²