Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107230 / 43358
↖ ↑ ↗
← N 51.893444°
E114.515991°		 ← 188.49 m → N 51.893444°
E114.518738°		 →
↑
188.45 m
↓
↑
188.45 m
↓
N 51.891749°
E114.515991°		 ← 188.49 m →
35 522 m²		 N 51.891749°
E114.518738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818103790283203 y=0.330799102783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818103790283203 × 217)
    floor (0.818103790283203 × 131072)
    floor (107230.5)     		tx = 107230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330799102783203 × 217)
    floor (0.330799102783203 × 131072)
    floor (43358.5)     		ty = 43358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107230 / 43358 ti = "17/107230/43358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107230/43358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107230 ÷ 217
    107230 ÷ 131072     		x = 0.818099975585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43358 ÷ 217
    43358 ÷ 131072     		y = 0.330795288085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818099975585938 × 2 - 1) × π
    0.636199951171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.99868109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330795288085938 × 2 - 1) × π
    0.338409423828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.06314455977361
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99868109} λ = 1.99868109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06314455977361))-π/2
    2×atan(2.89546164093039)-π/2
    2×1.23825389271047-π/2
    2.47650778542093-1.57079632675     		φ = 0.90571146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99868109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.515991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90571146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.893444°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107230 KachelY 43358 1.99868109 0.90571146 114.515991 51.893444
    Oben rechts KachelX + 1 107231 KachelY 43358 1.99872903 0.90571146 114.518738 51.893444
    Unten links KachelX 107230 KachelY + 1 43359 1.99868109 0.90568188 114.515991 51.891749
    Unten rechts KachelX + 1 107231 KachelY + 1 43359 1.99872903 0.90568188 114.518738 51.891749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90571146-0.90568188) × R
    2.95799999999735e-05 × 6371000     		dl = 188.454179999831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90571146-0.90568188) × R
    2.95799999999735e-05 × 6371000     		dr = 188.454179999831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99868109-1.99872903) × cos(0.90571146) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.617125913611266 × 6371000     		do = 188.486138837773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99868109-1.99872903) × cos(0.90568188) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.617149188790657 × 6371000     		du = 188.493247676662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90571146)-sin(0.90568188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617125913611266-0.617149188790657)×R²
    abs(1.99872903-1.99868109)×2.32751793910468e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32751793910468e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32751793910468e-05×40589641000000     		ar = 35521.6705837953m²