Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107228 / 45868
N 47.435519°
E114.510498°
← 206.60 m → N 47.435519°
E114.513245°

206.55 m

206.55 m
N 47.433662°
E114.510498°
← 206.60 m →
42 673 m²
N 47.433662°
E114.513245°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818088531494141 y=0.349948883056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818088531494141 × 217)
    floor (0.818088531494141 × 131072)
    floor (107228.5)
    tx = 107228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349948883056641 × 217)
    floor (0.349948883056641 × 131072)
    floor (45868.5)
    ty = 45868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107228 / 45868 ti = "17/107228/45868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107228/45868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107228 ÷ 217
    107228 ÷ 131072
    x = 0.818084716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45868 ÷ 217
    45868 ÷ 131072
    y = 0.349945068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.818084716796875 × 2 - 1) × π
    0.63616943359375 × 3.1415926535
    Λ = 1.99858522
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.349945068359375 × 2 - 1) × π
    0.30010986328125 × 3.1415926535
    Φ = 0.942822941727264
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99858522} λ = 1.99858522}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.942822941727264))-π/2
    2×atan(2.56721830654706)-π/2
    2×1.19935115919638-π/2
    2.39870231839276-1.57079632675
    φ = 0.82790599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99858522} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.510498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82790599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.435519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107228 KachelY 45868 1.99858522 0.82790599 114.510498 47.435519
    Oben rechts KachelX + 1 107229 KachelY 45868 1.99863316 0.82790599 114.513245 47.435519
    Unten links KachelX 107228 KachelY + 1 45869 1.99858522 0.82787357 114.510498 47.433662
    Unten rechts KachelX + 1 107229 KachelY + 1 45869 1.99863316 0.82787357 114.513245 47.433662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(0.82790599-0.82787357) × R
    3.2420000000033e-05 × 6371000
    dl = 206.54782000021m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(0.82790599-0.82787357) × R
    3.2420000000033e-05 × 6371000
    dr = 206.54782000021m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(1.99858522-1.99863316) × cos(0.82790599) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.676419514989052 × 6371000
    do = 206.595930915837m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(1.99858522-1.99863316) × cos(0.82787357) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.67644339250037 × 6371000
    du = 206.6032237224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(0.82790599)-sin(0.82787357))×
    abs(λ12)×abs(0.676419514989052-0.67644339250037)×
    abs(1.99863316-1.99858522)×2.3877511318382e-05×
    4.79399999999686e-05×2.3877511318382e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3877511318382e-05×40589641000000
    ar = 42672.6923118948m²