Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107227 / 45867
↖ ↑ ↗
← N 47.437377°
E114.507751°		 ← 206.59 m → N 47.437377°
E114.510498°		 →
↑
206.61 m
↓
↑
206.61 m
↓
N 47.435519°
E114.507751°		 ← 206.60 m →
42 684 m²		 N 47.435519°
E114.510498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107227 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818080902099609 y=0.349941253662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818080902099609 × 217)
    floor (0.818080902099609 × 131072)
    floor (107227.5)     		tx = 107227
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349941253662109 × 217)
    floor (0.349941253662109 × 131072)
    floor (45867.5)     		ty = 45867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107227 / 45867 ti = "17/107227/45867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107227/45867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107227 ÷ 217
    107227 ÷ 131072     		x = 0.818077087402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45867 ÷ 217
    45867 ÷ 131072     		y = 0.349937438964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818077087402344 × 2 - 1) × π
    0.636154174804688 × 3.1415926535     		Λ = 1.99853728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349937438964844 × 2 - 1) × π
    0.300125122070312 × 3.1415926535     		Φ = 0.942870878626884
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99853728} λ = 1.99853728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.942870878626884))-π/2
    2×atan(2.56734137398304)-π/2
    2×1.19936737163734-π/2
    2.39873474327468-1.57079632675     		φ = 0.82793842
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99853728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.507751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82793842 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.437377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107227 KachelY 45867 1.99853728 0.82793842 114.507751 47.437377
    Oben rechts KachelX + 1 107228 KachelY 45867 1.99858522 0.82793842 114.510498 47.437377
    Unten links KachelX 107227 KachelY + 1 45868 1.99853728 0.82790599 114.507751 47.435519
    Unten rechts KachelX + 1 107228 KachelY + 1 45868 1.99858522 0.82790599 114.510498 47.435519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82793842-0.82790599) × R
    3.24299999999722e-05 × 6371000     		dl = 206.611529999823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82793842-0.82790599) × R
    3.24299999999722e-05 × 6371000     		dr = 206.611529999823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99853728-1.99858522) × cos(0.82793842) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.676395629401393 × 6371000     		do = 206.588635642551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99853728-1.99858522) × cos(0.82790599) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.676419514989052 × 6371000     		du = 206.595930915837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82793842)-sin(0.82790599))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676395629401393-0.676419514989052)×R²
    abs(1.99858522-1.99853728)×2.38855876583122e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38855876583122e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38855876583122e-05×40589641000000     		ar = 42684.3477383592m²