Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107225 / 43956
↖ ↑ ↗
← N 50.868378°
E114.502258°		 ← 192.76 m → N 50.868378°
E114.505005°		 →
↑
192.72 m
↓
↑
192.72 m
↓
N 50.866645°
E114.502258°		 ← 192.76 m →
37 149 m²		 N 50.866645°
E114.505005°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818065643310547 y=0.335361480712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818065643310547 × 217)
    floor (0.818065643310547 × 131072)
    floor (107225.5)     		tx = 107225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335361480712891 × 217)
    floor (0.335361480712891 × 131072)
    floor (43956.5)     		ty = 43956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107225 / 43956 ti = "17/107225/43956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107225/43956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107225 ÷ 217
    107225 ÷ 131072     		x = 0.818061828613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43956 ÷ 217
    43956 ÷ 131072     		y = 0.335357666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818061828613281 × 2 - 1) × π
    0.636123657226562 × 3.1415926535     		Λ = 1.99844141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335357666015625 × 2 - 1) × π
    0.32928466796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.03447829380081
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99844141} λ = 1.99844141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03447829380081))-π/2
    2×atan(2.81363796028704)-π/2
    2×1.22930850525213-π/2
    2.45861701050426-1.57079632675     		φ = 0.88782068
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99844141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.502258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88782068 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.868378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107225 KachelY 43956 1.99844141 0.88782068 114.502258 50.868378
    Oben rechts KachelX + 1 107226 KachelY 43956 1.99848935 0.88782068 114.505005 50.868378
    Unten links KachelX 107225 KachelY + 1 43957 1.99844141 0.88779043 114.502258 50.866645
    Unten rechts KachelX + 1 107226 KachelY + 1 43957 1.99848935 0.88779043 114.505005 50.866645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88782068-0.88779043) × R
    3.02500000000094e-05 × 6371000     		dl = 192.72275000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88782068-0.88779043) × R
    3.02500000000094e-05 × 6371000     		dr = 192.72275000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99844141-1.99848935) × cos(0.88782068) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.631104018558628 × 6371000     		do = 192.755411885116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99844141-1.99848935) × cos(0.88779043) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.631127483140819 × 6371000     		du = 192.762578572496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88782068)-sin(0.88779043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631104018558628-0.631127483140819)×R²
    abs(1.99848935-1.99844141)×2.34645821919344e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34645821919344e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34645821919344e-05×40589641000000     		ar = 37149.0436506607m²