Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107219 / 43953
↖ ↑ ↗
← N 50.873578°
E114.485779°		 ← 192.69 m → N 50.873578°
E114.488525°		 →
↑
192.72 m
↓
↑
192.72 m
↓
N 50.871845°
E114.485779°		 ← 192.70 m →
37 137 m²		 N 50.871845°
E114.488525°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43953 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818019866943359 y=0.335338592529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818019866943359 × 217)
    floor (0.818019866943359 × 131072)
    floor (107219.5)     		tx = 107219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335338592529297 × 217)
    floor (0.335338592529297 × 131072)
    floor (43953.5)     		ty = 43953
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107219 / 43953 ti = "17/107219/43953"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107219/43953.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107219 ÷ 217
    107219 ÷ 131072     		x = 0.818016052246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43953 ÷ 217
    43953 ÷ 131072     		y = 0.335334777832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818016052246094 × 2 - 1) × π
    0.636032104492188 × 3.1415926535     		Λ = 1.99815379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335334777832031 × 2 - 1) × π
    0.329330444335938 × 3.1415926535     		Φ = 1.03462210449967
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99815379} λ = 1.99815379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03462210449967))-π/2
    2×atan(2.81404262062499)-π/2
    2×1.22935388247579-π/2
    2.45870776495159-1.57079632675     		φ = 0.88791144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99815379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.485779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88791144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.873578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107219 KachelY 43953 1.99815379 0.88791144 114.485779 50.873578
    Oben rechts KachelX + 1 107220 KachelY 43953 1.99820172 0.88791144 114.488525 50.873578
    Unten links KachelX 107219 KachelY + 1 43954 1.99815379 0.88788119 114.485779 50.871845
    Unten rechts KachelX + 1 107220 KachelY + 1 43954 1.99820172 0.88788119 114.488525 50.871845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88791144-0.88788119) × R
    3.02500000000094e-05 × 6371000     		dl = 192.72275000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88791144-0.88788119) × R
    3.02500000000094e-05 × 6371000     		dr = 192.72275000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99815379-1.99820172) × cos(0.88791144) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.631033613589585 × 6371000     		do = 192.693705244069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99815379-1.99820172) × cos(0.88788119) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.631057079904402 × 6371000     		du = 192.700870965598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88791144)-sin(0.88788119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631033613589585-0.631057079904402)×R²
    abs(1.99820172-1.99815379)×2.34663148173109e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34663148173109e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34663148173109e-05×40589641000000     		ar = 37137.1512839028m²