Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107216 / 43976
↖ ↑ ↗
← N 50.833698°
E114.477539°		 ← 192.86 m → N 50.833698°
E114.480285°		 →
↑
192.91 m
↓
↑
192.91 m
↓
N 50.831963°
E114.477539°		 ← 192.87 m →
37 206 m²		 N 50.831963°
E114.480285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.817996978759766 y=0.335514068603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.817996978759766 × 217)
    floor (0.817996978759766 × 131072)
    floor (107216.5)     		tx = 107216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335514068603516 × 217)
    floor (0.335514068603516 × 131072)
    floor (43976.5)     		ty = 43976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107216 / 43976 ti = "17/107216/43976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107216/43976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107216 ÷ 217
    107216 ÷ 131072     		x = 0.8179931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43976 ÷ 217
    43976 ÷ 131072     		y = 0.33551025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8179931640625 × 2 - 1) × π
    0.635986328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.99800998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33551025390625 × 2 - 1) × π
    0.3289794921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.03351955580841
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99800998} λ = 1.99800998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03351955580841))-π/2
    2×atan(2.81094171138231)-π/2
    2×1.22900586104911-π/2
    2.45801172209823-1.57079632675     		φ = 0.88721540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99800998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.477539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88721540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.833698°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107216 KachelY 43976 1.99800998 0.88721540 114.477539 50.833698
    Oben rechts KachelX + 1 107217 KachelY 43976 1.99805791 0.88721540 114.480285 50.833698
    Unten links KachelX 107216 KachelY + 1 43977 1.99800998 0.88718512 114.477539 50.831963
    Unten rechts KachelX + 1 107217 KachelY + 1 43977 1.99805791 0.88718512 114.480285 50.831963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88721540-0.88718512) × R
    3.02799999999381e-05 × 6371000     		dl = 192.913879999606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88721540-0.88718512) × R
    3.02799999999381e-05 × 6371000     		dr = 192.913879999606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99800998-1.99805791) × cos(0.88721540) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.631573417537511 × 6371000     		do = 192.85854087341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99800998-1.99805791) × cos(0.88718512) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.631596893818761 × 6371000     		du = 192.865709638309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88721540)-sin(0.88718512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631573417537511-0.631596893818761)×R²
    abs(1.99805791-1.99800998)×2.34762812504341e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34762812504341e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34762812504341e-05×40589641000000     		ar = 37205.7808909454m²