Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107214 / 43979
↖ ↑ ↗
← N 50.828493°
E114.472046°		 ← 192.92 m → N 50.828493°
E114.474793°		 →
↑
192.91 m
↓
↑
192.91 m
↓
N 50.826758°
E114.472046°		 ← 192.93 m →
37 218 m²		 N 50.826758°
E114.474793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.817981719970703 y=0.335536956787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.817981719970703 × 217)
    floor (0.817981719970703 × 131072)
    floor (107214.5)     		tx = 107214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335536956787109 × 217)
    floor (0.335536956787109 × 131072)
    floor (43979.5)     		ty = 43979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107214 / 43979 ti = "17/107214/43979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107214/43979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107214 ÷ 217
    107214 ÷ 131072     		x = 0.817977905273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43979 ÷ 217
    43979 ÷ 131072     		y = 0.335533142089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.817977905273438 × 2 - 1) × π
    0.635955810546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.99791410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335533142089844 × 2 - 1) × π
    0.328933715820312 × 3.1415926535     		Φ = 1.03337574510955
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99791410} λ = 1.99791410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03337574510955))-π/2
    2×atan(2.81053749695622)-π/2
    2×1.22896044500977-π/2
    2.45792089001953-1.57079632675     		φ = 0.88712456
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99791410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.472046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88712456 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.828493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107214 KachelY 43979 1.99791410 0.88712456 114.472046 50.828493
    Oben rechts KachelX + 1 107215 KachelY 43979 1.99796204 0.88712456 114.474793 50.828493
    Unten links KachelX 107214 KachelY + 1 43980 1.99791410 0.88709428 114.472046 50.826758
    Unten rechts KachelX + 1 107215 KachelY + 1 43980 1.99796204 0.88709428 114.474793 50.826758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88712456-0.88709428) × R
    3.02799999999381e-05 × 6371000     		dl = 192.913879999606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88712456-0.88709428) × R
    3.02799999999381e-05 × 6371000     		dr = 192.913879999606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99791410-1.99796204) × cos(0.88712456) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.631643844643948 × 6371000     		do = 192.920288666696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99791410-1.99796204) × cos(0.88709428) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.631667319187842 × 6371000     		du = 192.927458396636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88712456)-sin(0.88709428))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631643844643948-0.631667319187842)×R²
    abs(1.99796204-1.99791410)×2.34745438932871e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34745438932871e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34745438932871e-05×40589641000000     		ar = 37217.6929904645m²