Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107213 / 43733
↖ ↑ ↗
← N 51.253321°
E114.469300°		 ← 191.12 m → N 51.253321°
E114.472046°		 →
↑
191.19 m
↓
↑
191.19 m
↓
N 51.251601°
E114.469300°		 ← 191.13 m →
36 542 m²		 N 51.251601°
E114.472046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43733 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.817974090576172 y=0.333660125732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.817974090576172 × 217)
    floor (0.817974090576172 × 131072)
    floor (107213.5)     		tx = 107213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333660125732422 × 217)
    floor (0.333660125732422 × 131072)
    floor (43733.5)     		ty = 43733
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107213 / 43733 ti = "17/107213/43733"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107213/43733.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107213 ÷ 217
    107213 ÷ 131072     		x = 0.817970275878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43733 ÷ 217
    43733 ÷ 131072     		y = 0.333656311035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.817970275878906 × 2 - 1) × π
    0.635940551757812 × 3.1415926535     		Λ = 1.99786617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333656311035156 × 2 - 1) × π
    0.332687377929688 × 3.1415926535     		Φ = 1.04516822241608
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99786617} λ = 1.99786617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04516822241608))-π/2
    2×atan(2.84387688725592)-π/2
    2×1.23266776127034-π/2
    2.46533552254067-1.57079632675     		φ = 0.89453920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99786617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.469300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89453920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.253321°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107213 KachelY 43733 1.99786617 0.89453920 114.469300 51.253321
    Oben rechts KachelX + 1 107214 KachelY 43733 1.99791410 0.89453920 114.472046 51.253321
    Unten links KachelX 107213 KachelY + 1 43734 1.99786617 0.89450919 114.469300 51.251601
    Unten rechts KachelX + 1 107214 KachelY + 1 43734 1.99791410 0.89450919 114.472046 51.251601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89453920-0.89450919) × R
    3.00100000000247e-05 × 6371000     		dl = 191.193710000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89453920-0.89450919) × R
    3.00100000000247e-05 × 6371000     		dr = 191.193710000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99786617-1.99791410) × cos(0.89453920) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.625878270312695 × 6371000     		do = 191.11945915569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99786617-1.99791410) × cos(0.89450919) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.625901675452845 × 6371000     		du = 191.126606196799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89453920)-sin(0.89450919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625878270312695-0.625901675452845)×R²
    abs(1.99791410-1.99786617)×2.3405140149424e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3405140149424e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3405140149424e-05×40589641000000     		ar = 36541.5216866391m²