Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107212 / 42836
↖ ↑ ↗
← N 52.769539°
E114.466553°		 ← 184.79 m → N 52.769539°
E114.469300°		 →
↑
184.76 m
↓
↑
184.76 m
↓
N 52.767877°
E114.466553°		 ← 184.80 m →
34 142 m²		 N 52.767877°
E114.469300°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.817966461181641 y=0.326816558837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.817966461181641 × 217)
    floor (0.817966461181641 × 131072)
    floor (107212.5)     		tx = 107212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326816558837891 × 217)
    floor (0.326816558837891 × 131072)
    floor (42836.5)     		ty = 42836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107212 / 42836 ti = "17/107212/42836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107212/42836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107212 ÷ 217
    107212 ÷ 131072     		x = 0.817962646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42836 ÷ 217
    42836 ÷ 131072     		y = 0.326812744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.817962646484375 × 2 - 1) × π
    0.63592529296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.99781823
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326812744140625 × 2 - 1) × π
    0.34637451171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.08816762137527
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99781823} λ = 1.99781823}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08816762137527))-π/2
    2×atan(2.9688290665083)-π/2
    2×1.24589926546855-π/2
    2.49179853093711-1.57079632675     		φ = 0.92100220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99781823} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.466553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92100220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.769539°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107212 KachelY 42836 1.99781823 0.92100220 114.466553 52.769539
    Oben rechts KachelX + 1 107213 KachelY 42836 1.99786617 0.92100220 114.469300 52.769539
    Unten links KachelX 107212 KachelY + 1 42837 1.99781823 0.92097320 114.466553 52.767877
    Unten rechts KachelX + 1 107213 KachelY + 1 42837 1.99786617 0.92097320 114.469300 52.767877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92100220-0.92097320) × R
    2.89999999999457e-05 × 6371000     		dl = 184.758999999654m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92100220-0.92097320) × R
    2.89999999999457e-05 × 6371000     		dr = 184.758999999654m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99781823-1.99786617) × cos(0.92100220) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.605022500589017 × 6371000     		do = 184.78944495893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99781823-1.99786617) × cos(0.92097320) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.605045590377428 × 6371000     		du = 184.796497174642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92100220)-sin(0.92097320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605022500589017-0.605045590377428)×R²
    abs(1.99786617-1.99781823)×2.30897884115899e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30897884115899e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30897884115899e-05×40589641000000     		ar = 34142.1645435938m²