Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107205 / 42735
↖ ↑ ↗
← N 52.937052°
E114.447327°		 ← 184.08 m → N 52.937052°
E114.450073°		 →
↑
184.06 m
↓
↑
184.06 m
↓
N 52.935397°
E114.447327°		 ← 184.08 m →
33 882 m²		 N 52.935397°
E114.450073°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107205 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.817913055419922 y=0.326045989990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.817913055419922 × 217)
    floor (0.817913055419922 × 131072)
    floor (107205.5)     		tx = 107205
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326045989990234 × 217)
    floor (0.326045989990234 × 131072)
    floor (42735.5)     		ty = 42735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107205 / 42735 ti = "17/107205/42735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107205/42735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107205 ÷ 217
    107205 ÷ 131072     		x = 0.817909240722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42735 ÷ 217
    42735 ÷ 131072     		y = 0.326042175292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.817909240722656 × 2 - 1) × π
    0.635818481445312 × 3.1415926535     		Λ = 1.99748267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326042175292969 × 2 - 1) × π
    0.347915649414062 × 3.1415926535     		Φ = 1.0930092482369
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99748267} λ = 1.99748267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0930092482369))-π/2
    2×atan(2.98323788197144)-π/2
    2×1.24736109053029-π/2
    2.49472218106057-1.57079632675     		φ = 0.92392585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99748267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.447327°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92392585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.937052°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107205 KachelY 42735 1.99748267 0.92392585 114.447327 52.937052
    Oben rechts KachelX + 1 107206 KachelY 42735 1.99753061 0.92392585 114.450073 52.937052
    Unten links KachelX 107205 KachelY + 1 42736 1.99748267 0.92389696 114.447327 52.935397
    Unten rechts KachelX + 1 107206 KachelY + 1 42736 1.99753061 0.92389696 114.450073 52.935397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92392585-0.92389696) × R
    2.88900000000591e-05 × 6371000     		dl = 184.058190000377m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92392585-0.92389696) × R
    2.88900000000591e-05 × 6371000     		dr = 184.058190000377m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99748267-1.99753061) × cos(0.92392585) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.602692083512132 × 6371000     		do = 184.077675599567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99748267-1.99753061) × cos(0.92389696) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.602715136724911 × 6371000     		du = 184.084716644139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92392585)-sin(0.92389696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602692083512132-0.602715136724911)×R²
    abs(1.99753061-1.99748267)×2.30532127784011e-05×R²
    4.79400000001906e-05×2.30532127784011e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×2.30532127784011e-05×40589641000000     		ar = 33881.6517736168m²