Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1072 / 3248
↖ ↑ ↗
← N 34.885931°
W132.890625°		 ← 4 008.35 m → N 34.885931°
W132.846680°		 →
↑
4 009.27 m
↓
↑
4 009.27 m
↓
N 34.849875°
W132.890625°		 ← 4 010.11 m →
16 074 095 m²		 N 34.849875°
W132.846680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.13092041015625 y=0.39654541015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.13092041015625 × 213)
    floor (0.13092041015625 × 8192)
    floor (1072.5)     		tx = 1072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.39654541015625 × 213)
    floor (0.39654541015625 × 8192)
    floor (3248.5)     		ty = 3248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1072 / 3248 ti = "13/1072/3248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1072/3248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1072 ÷ 213
    1072 ÷ 8192     		x = 0.130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3248 ÷ 213
    3248 ÷ 8192     		y = 0.396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130859375 × 2 - 1) × π
    -0.73828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.31937895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.396484375 × 2 - 1) × π
    0.20703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.650407854044922
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31937895} λ = -2.31937895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.650407854044922))-π/2
    2×atan(1.91632224943113)-π/2
    2×1.08983534215958-π/2
    2.17967068431915-1.57079632675     		φ = 0.60887436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31937895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.890625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.60887436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.885931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1072 KachelY 3248 -2.31937895 0.60887436 -132.890625 34.885931
    Oben rechts KachelX + 1 1073 KachelY 3248 -2.31861196 0.60887436 -132.846680 34.885931
    Unten links KachelX 1072 KachelY + 1 3249 -2.31937895 0.60824506 -132.890625 34.849875
    Unten rechts KachelX + 1 1073 KachelY + 1 3249 -2.31861196 0.60824506 -132.846680 34.849875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.60887436-0.60824506) × R
    0.000629299999999944 × 6371000     		dl = 4009.27029999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.60887436-0.60824506) × R
    0.000629299999999944 × 6371000     		dr = 4009.27029999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31937895--2.31861196) × cos(0.60887436) × R
    0.000766989999999801 × 0.82029234096332 × 6371000     		do = 4008.35301995461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31937895--2.31861196) × cos(0.60824506) × R
    0.000766989999999801 × 0.820652103168299 × 6371000     		du = 4010.11099555524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.60887436)-sin(0.60824506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.82029234096332-0.820652103168299)×R²
    abs(-2.31861196--2.31937895)×0.00035976220497913×R²
    0.000766989999999801×0.00035976220497913×6371000²
    0.000766989999999801×0.00035976220497913×40589641000000     		ar = 16074095.344972m²