Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1072 / 1134
↖ ↑ ↗
← S 18.979026°
E  8.437500°		 ← 18.483 km → S 18.979026°
E  8.613281°		 →
↑
18.474 km
↓
↑
18.474 km
↓
S 19.145168°
E  8.437500°		 ← 18.465 km →
341.295 km²		 S 19.145168°
E  8.613281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523681640625 y=0.553955078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523681640625 × 211)
    floor (0.523681640625 × 2048)
    floor (1072.5)     		tx = 1072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553955078125 × 211)
    floor (0.553955078125 × 2048)
    floor (1134.5)     		ty = 1134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1072 / 1134 ti = "11/1072/1134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1072/1134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1072 ÷ 211
    1072 ÷ 2048     		x = 0.5234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1134 ÷ 211
    1134 ÷ 2048     		y = 0.5537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5234375 × 2 - 1) × π
    0.046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14726216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5537109375 × 2 - 1) × π
    -0.107421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.337475773325195
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14726216} λ = 0.14726216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.337475773325195))-π/2
    2×atan(0.713569261907555)-π/2
    2×0.619774917549129-π/2
    1.23954983509826-1.57079632675     		φ = -0.33124649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14726216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33124649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.979026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1072 KachelY 1134 0.14726216 -0.33124649 8.437500 -18.979026
    Oben rechts KachelX + 1 1073 KachelY 1134 0.15033012 -0.33124649 8.613281 -18.979026
    Unten links KachelX 1072 KachelY + 1 1135 0.14726216 -0.33414622 8.437500 -19.145168
    Unten rechts KachelX + 1 1073 KachelY + 1 1135 0.15033012 -0.33414622 8.613281 -19.145168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33124649--0.33414622) × R
    0.00289972999999999 × 6371000     		dl = 18474.1798299999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33124649--0.33414622) × R
    0.00289972999999999 × 6371000     		dr = 18474.1798299999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14726216-0.15033012) × cos(-0.33124649) × R
    0.00306796000000001 × 0.945637692287967 × 6371000     		do = 18483.408952545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14726216-0.15033012) × cos(-0.33414622) × R
    0.00306796000000001 × 0.944690661931055 × 6371000     		du = 18464.8983226071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33124649)-sin(-0.33414622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945637692287967-0.944690661931055)×R²
    abs(0.15033012-0.14726216)×0.000947030356911793×R²
    0.00306796000000001×0.000947030356911793×6371000²
    0.00306796000000001×0.000947030356911793×40589641000000     		ar = 341295075.654092m²