Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107196 / 100536
↖ ↑ ↗
← S 68.839735°
E114.422608°		 ← 110.25 m → S 68.839735°
E114.425354°		 →
↑
110.22 m
↓
↑
110.22 m
↓
S 68.840726°
E114.422608°		 ← 110.25 m →
12 152 m²		 S 68.840726°
E114.425354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.817844390869141 y=0.767032623291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.817844390869141 × 217)
    floor (0.817844390869141 × 131072)
    floor (107196.5)     		tx = 107196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767032623291016 × 217)
    floor (0.767032623291016 × 131072)
    floor (100536.5)     		ty = 100536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107196 / 100536 ti = "17/107196/100536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107196/100536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107196 ÷ 217
    107196 ÷ 131072     		x = 0.817840576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100536 ÷ 217
    100536 ÷ 131072     		y = 0.76702880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.817840576171875 × 2 - 1) × π
    0.63568115234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.99705124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76702880859375 × 2 - 1) × π
    -0.5340576171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.67779148670197
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99705124} λ = 1.99705124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67779148670197))-π/2
    2×atan(0.186786040301113)-π/2
    2×0.184658148888319-π/2
    0.369316297776637-1.57079632675     		φ = -1.20148003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99705124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.422608°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20148003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.839735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107196 KachelY 100536 1.99705124 -1.20148003 114.422608 -68.839735
    Oben rechts KachelX + 1 107197 KachelY 100536 1.99709918 -1.20148003 114.425354 -68.839735
    Unten links KachelX 107196 KachelY + 1 100537 1.99705124 -1.20149733 114.422608 -68.840726
    Unten rechts KachelX + 1 107197 KachelY + 1 100537 1.99709918 -1.20149733 114.425354 -68.840726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20148003--1.20149733) × R
    1.73000000001089e-05 × 6371000     		dl = 110.218300000694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20148003--1.20149733) × R
    1.73000000001089e-05 × 6371000     		dr = 110.218300000694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99705124-1.99709918) × cos(-1.20148003) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.36097791230165 × 6371000     		do = 110.251945988314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99705124-1.99709918) × cos(-1.20149733) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.360961778711113 × 6371000     		du = 110.247018374486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20148003)-sin(-1.20149733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36097791230165-0.360961778711113)×R²
    abs(1.99709918-1.99705124)×1.61335905376481e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61335905376481e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61335905376481e-05×40589641000000     		ar = 12151.5105022766m²