Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107176 / 42810
↖ ↑ ↗
← N 52.812723°
E114.367676°		 ← 184.61 m → N 52.812723°
E114.370423°		 →
↑
184.63 m
↓
↑
184.63 m
↓
N 52.811063°
E114.367676°		 ← 184.61 m →
34 085 m²		 N 52.811063°
E114.370423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.817691802978516 y=0.326618194580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.817691802978516 × 217)
    floor (0.817691802978516 × 131072)
    floor (107176.5)     		tx = 107176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326618194580078 × 217)
    floor (0.326618194580078 × 131072)
    floor (42810.5)     		ty = 42810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107176 / 42810 ti = "17/107176/42810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107176/42810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107176 ÷ 217
    107176 ÷ 131072     		x = 0.81768798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42810 ÷ 217
    42810 ÷ 131072     		y = 0.326614379882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81768798828125 × 2 - 1) × π
    0.6353759765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.99609250
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326614379882812 × 2 - 1) × π
    0.346771240234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0894139807654
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99609250} λ = 1.99609250}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0894139807654))-π/2
    2×atan(2.97253160135825)-π/2
    2×1.24627611615118-π/2
    2.49255223230236-1.57079632675     		φ = 0.92175591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99609250} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.367676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92175591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.812723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107176 KachelY 42810 1.99609250 0.92175591 114.367676 52.812723
    Oben rechts KachelX + 1 107177 KachelY 42810 1.99614044 0.92175591 114.370423 52.812723
    Unten links KachelX 107176 KachelY + 1 42811 1.99609250 0.92172693 114.367676 52.811063
    Unten rechts KachelX + 1 107177 KachelY + 1 42811 1.99614044 0.92172693 114.370423 52.811063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92175591-0.92172693) × R
    2.89799999999563e-05 × 6371000     		dl = 184.631579999721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92175591-0.92172693) × R
    2.89799999999563e-05 × 6371000     		dr = 184.631579999721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99609250-1.99614044) × cos(0.92175591) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.604422218582554 × 6371000     		do = 184.606103382897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99609250-1.99614044) × cos(0.92172693) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.604445305656059 × 6371000     		du = 184.613154769407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92175591)-sin(0.92172693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604422218582554-0.604445305656059)×R²
    abs(1.99614044-1.99609250)×2.30870735054012e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30870735054012e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30870735054012e-05×40589641000000     		ar = 34084.7675017682m²