Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107174 / 44126
↖ ↑ ↗
← N 50.572772°
E114.362183°		 ← 193.93 m → N 50.572772°
E114.364929°		 →
↑
194 m
↓
↑
194 m
↓
N 50.571027°
E114.362183°		 ← 193.94 m →
37 623 m²		 N 50.571027°
E114.364929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107174 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.817676544189453 y=0.336658477783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.817676544189453 × 217)
    floor (0.817676544189453 × 131072)
    floor (107174.5)     		tx = 107174
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336658477783203 × 217)
    floor (0.336658477783203 × 131072)
    floor (44126.5)     		ty = 44126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107174 / 44126 ti = "17/107174/44126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107174/44126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107174 ÷ 217
    107174 ÷ 131072     		x = 0.817672729492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44126 ÷ 217
    44126 ÷ 131072     		y = 0.336654663085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.817672729492188 × 2 - 1) × π
    0.635345458984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.99599663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336654663085938 × 2 - 1) × π
    0.326690673828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.0263290208654
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99599663} λ = 1.99599663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0263290208654))-π/2
    2×atan(2.79080203109602)-π/2
    2×1.22672885231674-π/2
    2.45345770463348-1.57079632675     		φ = 0.88266138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99599663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.362183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88266138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.572772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107174 KachelY 44126 1.99599663 0.88266138 114.362183 50.572772
    Oben rechts KachelX + 1 107175 KachelY 44126 1.99604456 0.88266138 114.364929 50.572772
    Unten links KachelX 107174 KachelY + 1 44127 1.99599663 0.88263093 114.362183 50.571027
    Unten rechts KachelX + 1 107175 KachelY + 1 44127 1.99604456 0.88263093 114.364929 50.571027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88266138-0.88263093) × R
    3.04500000000152e-05 × 6371000     		dl = 193.996950000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88266138-0.88263093) × R
    3.04500000000152e-05 × 6371000     		dr = 193.996950000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99599663-1.99604456) × cos(0.88266138) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.635097661131065 × 6371000     		do = 193.934711051353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99599663-1.99604456) × cos(0.88263093) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.635121181386421 × 6371000     		du = 193.941893244274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88266138)-sin(0.88263093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635097661131065-0.635121181386421)×R²
    abs(1.99604456-1.99599663)×2.35202553560132e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35202553560132e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35202553560132e-05×40589641000000     		ar = 37623.4391079105m²