Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107166 / 44127
↖ ↑ ↗
← N 50.571027°
E114.340210°		 ← 193.98 m → N 50.571027°
E114.342957°		 →
↑
193.93 m
↓
↑
193.93 m
↓
N 50.569283°
E114.340210°		 ← 193.99 m →
37 620 m²		 N 50.569283°
E114.342957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.817615509033203 y=0.336666107177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.817615509033203 × 217)
    floor (0.817615509033203 × 131072)
    floor (107166.5)     		tx = 107166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336666107177734 × 217)
    floor (0.336666107177734 × 131072)
    floor (44127.5)     		ty = 44127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107166 / 44127 ti = "17/107166/44127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107166/44127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107166 ÷ 217
    107166 ÷ 131072     		x = 0.817611694335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44127 ÷ 217
    44127 ÷ 131072     		y = 0.336662292480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.817611694335938 × 2 - 1) × π
    0.635223388671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.99561313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336662292480469 × 2 - 1) × π
    0.326675415039062 × 3.1415926535     		Φ = 1.02628108396578
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99561313} λ = 1.99561313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02628108396578))-π/2
    2×atan(2.7906682519057)-π/2
    2×1.22671362972846-π/2
    2.45342725945691-1.57079632675     		φ = 0.88263093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99561313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.340210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88263093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.571027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107166 KachelY 44127 1.99561313 0.88263093 114.340210 50.571027
    Oben rechts KachelX + 1 107167 KachelY 44127 1.99566107 0.88263093 114.342957 50.571027
    Unten links KachelX 107166 KachelY + 1 44128 1.99561313 0.88260049 114.340210 50.569283
    Unten rechts KachelX + 1 107167 KachelY + 1 44128 1.99566107 0.88260049 114.342957 50.569283
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88263093-0.88260049) × R
    3.0440000000076e-05 × 6371000     		dl = 193.933240000484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88263093-0.88260049) × R
    3.0440000000076e-05 × 6371000     		dr = 193.933240000484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99561313-1.99566107) × cos(0.88263093) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.635121181386421 × 6371000     		do = 193.982356814495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99561313-1.99566107) × cos(0.88260049) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.635144693328959 × 6371000     		du = 193.989537966943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88263093)-sin(0.88260049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635121181386421-0.635144693328959)×R²
    abs(1.99566107-1.99561313)×2.35119425383568e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35119425383568e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35119425383568e-05×40589641000000     		ar = 37620.3232948244m²