Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107120 / 43537
↖ ↑ ↗
← N 51.589016°
E114.213867°		 ← 189.76 m → N 51.589016°
E114.216614°		 →
↑
189.73 m
↓
↑
189.73 m
↓
N 51.587310°
E114.213867°		 ← 189.77 m →
36 004 m²		 N 51.587310°
E114.216614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.817264556884766 y=0.332164764404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.817264556884766 × 217)
    floor (0.817264556884766 × 131072)
    floor (107120.5)     		tx = 107120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332164764404297 × 217)
    floor (0.332164764404297 × 131072)
    floor (43537.5)     		ty = 43537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107120 / 43537 ti = "17/107120/43537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107120/43537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107120 ÷ 217
    107120 ÷ 131072     		x = 0.8172607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43537 ÷ 217
    43537 ÷ 131072     		y = 0.332160949707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8172607421875 × 2 - 1) × π
    0.634521484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.99340803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332160949707031 × 2 - 1) × π
    0.335678100585938 × 3.1415926535     		Φ = 1.05456385474162
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99340803} λ = 1.99340803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05456385474162))-π/2
    2×atan(2.87072282867348)-π/2
    2×1.23559725892053-π/2
    2.47119451784105-1.57079632675     		φ = 0.90039819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99340803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.213867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90039819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.589016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107120 KachelY 43537 1.99340803 0.90039819 114.213867 51.589016
    Oben rechts KachelX + 1 107121 KachelY 43537 1.99345597 0.90039819 114.216614 51.589016
    Unten links KachelX 107120 KachelY + 1 43538 1.99340803 0.90036841 114.213867 51.587310
    Unten rechts KachelX + 1 107121 KachelY + 1 43538 1.99345597 0.90036841 114.216614 51.587310
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90039819-0.90036841) × R
    2.97799999999793e-05 × 6371000     		dl = 189.728379999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90039819-0.90036841) × R
    2.97799999999793e-05 × 6371000     		dr = 189.728379999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99340803-1.99345597) × cos(0.90039819) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.621298006056993 × 6371000     		do = 189.760403260357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99340803-1.99345597) × cos(0.90036841) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.621321340626122 × 6371000     		du = 189.767530238401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90039819)-sin(0.90036841))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621298006056993-0.621321340626122)×R²
    abs(1.99345597-1.99340803)×2.33345691291742e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33345691291742e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33345691291742e-05×40589641000000     		ar = 36003.6099963924m²