Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107087 / 45667
↖ ↑ ↗
← N 47.807621°
E114.123230°		 ← 205.09 m → N 47.807621°
E114.125976°		 →
↑
205.15 m
↓
↑
205.15 m
↓
N 47.805776°
E114.123230°		 ← 205.10 m →
42 074 m²		 N 47.805776°
E114.125976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.817012786865234 y=0.348415374755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.817012786865234 × 217)
    floor (0.817012786865234 × 131072)
    floor (107087.5)     		tx = 107087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348415374755859 × 217)
    floor (0.348415374755859 × 131072)
    floor (45667.5)     		ty = 45667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107087 / 45667 ti = "17/107087/45667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107087/45667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107087 ÷ 217
    107087 ÷ 131072     		x = 0.817008972167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45667 ÷ 217
    45667 ÷ 131072     		y = 0.348411560058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.817008972167969 × 2 - 1) × π
    0.634017944335938 × 3.1415926535     		Λ = 1.99182612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348411560058594 × 2 - 1) × π
    0.303176879882812 × 3.1415926535     		Φ = 0.952458258550896
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99182612} λ = 1.99182612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.952458258550896))-π/2
    2×atan(2.59207382136898)-π/2
    2×1.2025983587907-π/2
    2.4051967175814-1.57079632675     		φ = 0.83440039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99182612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.123230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83440039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.807621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107087 KachelY 45667 1.99182612 0.83440039 114.123230 47.807621
    Oben rechts KachelX + 1 107088 KachelY 45667 1.99187405 0.83440039 114.125976 47.807621
    Unten links KachelX 107087 KachelY + 1 45668 1.99182612 0.83436819 114.123230 47.805776
    Unten rechts KachelX + 1 107088 KachelY + 1 45668 1.99187405 0.83436819 114.125976 47.805776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83440039-0.83436819) × R
    3.22000000000378e-05 × 6371000     		dl = 205.146200000241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83440039-0.83436819) × R
    3.22000000000378e-05 × 6371000     		dr = 205.146200000241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99182612-1.99187405) × cos(0.83440039) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.67162205077963 × 6371000     		do = 205.087872818956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99182612-1.99187405) × cos(0.83436819) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.671645907216107 × 6371000     		du = 205.095157668828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83440039)-sin(0.83436819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67162205077963-0.671645907216107)×R²
    abs(1.99187405-1.99182612)×2.38564364769545e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38564364769545e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38564364769545e-05×40589641000000     		ar = 42073.745008232m²