Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107085 / 45657
↖ ↑ ↗
← N 47.826064°
E114.117737°		 ← 205.06 m → N 47.826064°
E114.120483°		 →
↑
205.08 m
↓
↑
205.08 m
↓
N 47.824220°
E114.117737°		 ← 205.07 m →
42 055 m²		 N 47.824220°
E114.120483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816997528076172 y=0.348339080810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816997528076172 × 217)
    floor (0.816997528076172 × 131072)
    floor (107085.5)     		tx = 107085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348339080810547 × 217)
    floor (0.348339080810547 × 131072)
    floor (45657.5)     		ty = 45657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107085 / 45657 ti = "17/107085/45657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107085/45657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107085 ÷ 217
    107085 ÷ 131072     		x = 0.816993713378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45657 ÷ 217
    45657 ÷ 131072     		y = 0.348335266113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816993713378906 × 2 - 1) × π
    0.633987426757812 × 3.1415926535     		Λ = 1.99173024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348335266113281 × 2 - 1) × π
    0.303329467773438 × 3.1415926535     		Φ = 0.952937627547096
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99173024} λ = 1.99173024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.952937627547096))-π/2
    2×atan(2.59331667906473)-π/2
    2×1.20275930759882-π/2
    2.40551861519765-1.57079632675     		φ = 0.83472229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99173024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.117737°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83472229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.826064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107085 KachelY 45657 1.99173024 0.83472229 114.117737 47.826064
    Oben rechts KachelX + 1 107086 KachelY 45657 1.99177818 0.83472229 114.120483 47.826064
    Unten links KachelX 107085 KachelY + 1 45658 1.99173024 0.83469010 114.117737 47.824220
    Unten rechts KachelX + 1 107086 KachelY + 1 45658 1.99177818 0.83469010 114.120483 47.824220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83472229-0.83469010) × R
    3.21899999999875e-05 × 6371000     		dl = 205.08248999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83472229-0.83469010) × R
    3.21899999999875e-05 × 6371000     		dr = 205.08248999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99173024-1.99177818) × cos(0.83472229) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.671383522229902 × 6371000     		do = 205.05780910074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99173024-1.99177818) × cos(0.83469010) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.671407378215865 × 6371000     		du = 205.065095332906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83472229)-sin(0.83469010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671383522229902-0.671407378215865)×R²
    abs(1.99177818-1.99173024)×2.3855985962995e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3855985962995e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3855985962995e-05×40589641000000     		ar = 42054.5132272979m²