Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107073 / 45500
↖ ↑ ↗
← N 48.114767°
E114.084778°		 ← 203.91 m → N 48.114767°
E114.087525°		 →
↑
203.94 m
↓
↑
203.94 m
↓
N 48.112933°
E114.084778°		 ← 203.92 m →
41 586 m²		 N 48.112933°
E114.087525°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107073 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816905975341797 y=0.347141265869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816905975341797 × 217)
    floor (0.816905975341797 × 131072)
    floor (107073.5)     		tx = 107073
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347141265869141 × 217)
    floor (0.347141265869141 × 131072)
    floor (45500.5)     		ty = 45500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107073 / 45500 ti = "17/107073/45500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107073/45500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107073 ÷ 217
    107073 ÷ 131072     		x = 0.816902160644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45500 ÷ 217
    45500 ÷ 131072     		y = 0.347137451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816902160644531 × 2 - 1) × π
    0.633804321289062 × 3.1415926535     		Λ = 1.99115500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347137451171875 × 2 - 1) × π
    0.30572509765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.960463720787445
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99115500} λ = 1.99115500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.960463720787445))-π/2
    2×atan(2.6129078522174)-π/2
    2×1.20527871166576-π/2
    2.41055742333151-1.57079632675     		φ = 0.83976110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99115500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.084778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83976110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.114767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107073 KachelY 45500 1.99115500 0.83976110 114.084778 48.114767
    Oben rechts KachelX + 1 107074 KachelY 45500 1.99120294 0.83976110 114.087525 48.114767
    Unten links KachelX 107073 KachelY + 1 45501 1.99115500 0.83972909 114.084778 48.112933
    Unten rechts KachelX + 1 107074 KachelY + 1 45501 1.99120294 0.83972909 114.087525 48.112933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83976110-0.83972909) × R
    3.20100000000823e-05 × 6371000     		dl = 203.935710000524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83976110-0.83972909) × R
    3.20100000000823e-05 × 6371000     		dr = 203.935710000524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99115500-1.99120294) × cos(0.83976110) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.667640702033854 × 6371000     		do = 203.914655472676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99115500-1.99120294) × cos(0.83972909) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.66766453261318 × 6371000     		du = 203.921933945001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83976110)-sin(0.83972909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667640702033854-0.66766453261318)×R²
    abs(1.99120294-1.99115500)×2.38305793259785e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38305793259785e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38305793259785e-05×40589641000000     		ar = 41586.2222172375m²