Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107071 / 45502
↖ ↑ ↗
← N 48.111099°
E114.079285°		 ← 203.89 m → N 48.111099°
E114.082031°		 →
↑
203.94 m
↓
↑
203.94 m
↓
N 48.109265°
E114.079285°		 ← 203.89 m →
41 581 m²		 N 48.109265°
E114.082031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816890716552734 y=0.347156524658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816890716552734 × 217)
    floor (0.816890716552734 × 131072)
    floor (107071.5)     		tx = 107071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347156524658203 × 217)
    floor (0.347156524658203 × 131072)
    floor (45502.5)     		ty = 45502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107071 / 45502 ti = "17/107071/45502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107071/45502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107071 ÷ 217
    107071 ÷ 131072     		x = 0.816886901855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45502 ÷ 217
    45502 ÷ 131072     		y = 0.347152709960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816886901855469 × 2 - 1) × π
    0.633773803710938 × 3.1415926535     		Λ = 1.99105913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347152709960938 × 2 - 1) × π
    0.305694580078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.960367846988205
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99105913} λ = 1.99105913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.960367846988205))-π/2
    2×atan(2.6126573548228)-π/2
    2×1.20524670589812-π/2
    2.41049341179625-1.57079632675     		φ = 0.83969709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99105913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.079285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83969709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.111099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107071 KachelY 45502 1.99105913 0.83969709 114.079285 48.111099
    Oben rechts KachelX + 1 107072 KachelY 45502 1.99110706 0.83969709 114.082031 48.111099
    Unten links KachelX 107071 KachelY + 1 45503 1.99105913 0.83966508 114.079285 48.109265
    Unten rechts KachelX + 1 107072 KachelY + 1 45503 1.99110706 0.83966508 114.082031 48.109265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83969709-0.83966508) × R
    3.20100000000823e-05 × 6371000     		dl = 203.935710000524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83969709-0.83966508) × R
    3.20100000000823e-05 × 6371000     		dr = 203.935710000524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99105913-1.99110706) × cos(0.83969709) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.667688355063981 × 6371000     		do = 203.886671509823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99105913-1.99110706) × cos(0.83966508) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.667712184275265 × 6371000     		du = 203.893948046154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83969709)-sin(0.83966508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667688355063981-0.667712184275265)×R²
    abs(1.99110706-1.99105913)×2.38292112836325e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38292112836325e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38292112836325e-05×40589641000000     		ar = 41580.5150903251m²