Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107065 / 45625
↖ ↑ ↗
← N 47.885039°
E114.062805°		 ← 204.82 m → N 47.885039°
E114.065552°		 →
↑
204.83 m
↓
↑
204.83 m
↓
N 47.883197°
E114.062805°		 ← 204.83 m →
41 955 m²		 N 47.883197°
E114.065552°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816844940185547 y=0.348094940185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816844940185547 × 217)
    floor (0.816844940185547 × 131072)
    floor (107065.5)     		tx = 107065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348094940185547 × 217)
    floor (0.348094940185547 × 131072)
    floor (45625.5)     		ty = 45625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107065 / 45625 ti = "17/107065/45625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107065/45625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107065 ÷ 217
    107065 ÷ 131072     		x = 0.816841125488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45625 ÷ 217
    45625 ÷ 131072     		y = 0.348091125488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816841125488281 × 2 - 1) × π
    0.633682250976562 × 3.1415926535     		Λ = 1.99077150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348091125488281 × 2 - 1) × π
    0.303817749023438 × 3.1415926535     		Φ = 0.954471608334938
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99077150} λ = 1.99077150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.954471608334938))-π/2
    2×atan(2.59729782975087)-π/2
    2×1.20327395962481-π/2
    2.40654791924962-1.57079632675     		φ = 0.83575159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99077150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.062805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83575159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.885039°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107065 KachelY 45625 1.99077150 0.83575159 114.062805 47.885039
    Oben rechts KachelX + 1 107066 KachelY 45625 1.99081944 0.83575159 114.065552 47.885039
    Unten links KachelX 107065 KachelY + 1 45626 1.99077150 0.83571944 114.062805 47.883197
    Unten rechts KachelX + 1 107066 KachelY + 1 45626 1.99081944 0.83571944 114.065552 47.883197
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83575159-0.83571944) × R
    3.21500000000086e-05 × 6371000     		dl = 204.827650000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83575159-0.83571944) × R
    3.21500000000086e-05 × 6371000     		dr = 204.827650000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99077150-1.99081944) × cos(0.83575159) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.670620342097106 × 6371000     		do = 204.824714244876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99077150-1.99081944) × cos(0.83571944) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.670644190644718 × 6371000     		du = 204.831998205178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83575159)-sin(0.83571944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670620342097106-0.670644190644718)×R²
    abs(1.99081944-1.99077150)×2.38485476123929e-05×R²
    4.79400000001906e-05×2.38485476123929e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×2.38485476123929e-05×40589641000000     		ar = 41954.5108625987m²