Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107058 / 45654
↖ ↑ ↗
← N 47.831596°
E114.043579°		 ← 204.99 m → N 47.831596°
E114.046326°		 →
↑
205.08 m
↓
↑
205.08 m
↓
N 47.829752°
E114.043579°		 ← 205 m →
42 041 m²		 N 47.829752°
E114.046326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816791534423828 y=0.348316192626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816791534423828 × 217)
    floor (0.816791534423828 × 131072)
    floor (107058.5)     		tx = 107058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348316192626953 × 217)
    floor (0.348316192626953 × 131072)
    floor (45654.5)     		ty = 45654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107058 / 45654 ti = "17/107058/45654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107058/45654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107058 ÷ 217
    107058 ÷ 131072     		x = 0.816787719726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45654 ÷ 217
    45654 ÷ 131072     		y = 0.348312377929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816787719726562 × 2 - 1) × π
    0.633575439453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.99043595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348312377929688 × 2 - 1) × π
    0.303375244140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.953081438245956
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99043595} λ = 1.99043595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.953081438245956))-π/2
    2×atan(2.59368965256686)-π/2
    2×1.20280758109307-π/2
    2.40561516218615-1.57079632675     		φ = 0.83481884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99043595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.043579°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83481884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.831596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107058 KachelY 45654 1.99043595 0.83481884 114.043579 47.831596
    Oben rechts KachelX + 1 107059 KachelY 45654 1.99048388 0.83481884 114.046326 47.831596
    Unten links KachelX 107058 KachelY + 1 45655 1.99043595 0.83478665 114.043579 47.829752
    Unten rechts KachelX + 1 107059 KachelY + 1 45655 1.99048388 0.83478665 114.046326 47.829752
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83481884-0.83478665) × R
    3.21899999999875e-05 × 6371000     		dl = 205.08248999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83481884-0.83478665) × R
    3.21899999999875e-05 × 6371000     		dr = 205.08248999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99043595-1.99048388) × cos(0.83481884) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.6713119649215 × 6371000     		do = 204.993184371844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99043595-1.99048388) × cos(0.83478665) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.671335822994012 × 6371000     		du = 205.000469721298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83481884)-sin(0.83478665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6713119649215-0.671335822994012)×R²
    abs(1.99048388-1.99043595)×2.38580725115956e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38580725115956e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38580725115956e-05×40589641000000     		ar = 42041.2597363152m²